2010년 8월 6일 금요일

벡터 항등식(vector identity)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "벡터 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


아래에 미분 연산자가 없는 단순 벡터의 항등식을 소개한다. 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

                         (1-1)

                         (1-2)

                         (1-3)

                         (1-4)

식 (1-3)은 좌변과 우변의 항들을 비교하여 증명하지 않고 내적(inner product)과 외적(outer product)의 개념을 이용하여 증명할 수 있다. 식 (1-3)의 좌변을 보면, 좌변을 계산한 최종 벡터는 $\bar A$를 성분으로 가질 수 없다. 또한, 이 벡터는 $\bar B \times \bar C$에 수직이어야 하므로, 좌변의 벡터는 $\bar B, \bar C$로 구성되어야 한다. (∵ $\bar B \times \bar C$는 $\bar B, \bar C$가 구성하는 평면의 법선 벡터 방향을 가지기 때문이다.) 그러면 식 (1-3)의 좌변은 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (1-5)

식 (1-5)의 양변에 $\bar A$를 내적하여 정리하면 상수 $b, c$는 다음 관계를 가져야 한다.

                         (1-6)

다음으로 식 (1-6)의 결과를 식 (1-5)에 넣은 후, 양변에 $\bar B$를 내적하여 양변을 비교하면 다음의 최종 결과를 얻을 수 있다.

                         (1-7)

또한, 식 (1-5)의 좌변을 보면 벡터 $\bar A, \bar B, \bar C$의 이중 외적이므로 최종 벡터의 성분은 $\bar A, \bar B, \bar C$의 삼중곱으로 나와야 한다. 따라서, 반드시 $b = \bar A \cdot \bar C$가 성립해야 한다.

벡터 미분 연산중 라플라시안(Laplacian)은 아래와 같이 정의한다. 명칭 '라플라시안'에 있는 '-이안(-ian)'의 원뜻은 "-에서 나왔음"이므로 직역하면 "라플라스(Pierre-Simon Laplace)의 제안"이 된다. 하지만 이걸 그냥 우리말로 바꾸면 이상하므로 수학에 출현하는  '-이안(-ian)'은 의역하여 연산자(operator)라고 생각하면 된다. 즉,  "라플라스 연산자"를 줄여서 영어로 표현한 것을 라플라시안이라고 한다.

                         (2-1)

                         (2-2)

                         (2-3)

                         (2-4)

아래 공식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호비교하면 쉽게 증명할 수 있다. 또한 아래 공식은 데카르트 좌표계에서 증명되었지만 좌표계의 등가성에 의해 다른 직교좌표계에서도 성립한다.

                         (3-1)

                         (3-2)

                         (3-3)

여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $R = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$, $\hat R = (\bar r - \bar r')/R$, $\bar r = (x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$.
식 (3-3)을 증명하기 위해 다음 관계식을 관찰하자.

                             (3-4)

식 (3-4)는 $R \ne 0$인 곳에서 항상 0이라는 뜻이므로, 원천점($\bar r'$)을 포함한 체적 적분을 이용해 식 (3-3)에서 디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 자연스럽게 도출됨을 증명하자.

                             (3-5)


                         (4-1)

                         (4-2)

                         (4-3)

                         (4-4)

                         (4-5)

                         (4-6)

                         (4-7)

                         (4-8)

여기서 벡터 $\bar A_0$는 상수벡터이다.

아래 공식은 데카르트 좌표계에서만 성립한다. 왜냐하면 구배, 발산, 회전 이외의 미분 연산자가 사용되었기 때문이다. 좀더 수학적으로 설명하면 아래 공식은 텐서(tensor) 연산이 아니라서 좌표 불변성(座標不變性, coordinate invariant or coordinate independent)이 성립하지 않는다. [다만 항등식에 식 (5-6)을 사용할 수 있다면 임의 좌표계로 확장할 수도 있다.] 아래 공식의 증명 자체는 쉽다. 위의 공식 증명과 동일하게 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

        (5-1)
   

        (5-2)
   

                         (5-3)

                         (5-4)

                         (5-5)

                         (5-6)

                         (5-7)

                         (5-8)

                         (5-9)

                         (5-10)

                         (5-11)

                         (5-12)

                         (5-13)

                         (5-14)

여기서 벡터 $\bar A_0$는 상수벡터, $\bar A \bar B$는 다이애드(dyad)이다. 위 항등식에 있는 특이한 미분 연산자는 다음처럼 정의한다.

                         (5-15)

                         (5-16)

식 (5-15)와 (5-16)은 데카르트 좌표계에서만 성립하지만, 식 (5-6)과 (5-14)와 같은 다이애드를 도입하여 식 (5-15)와 (5-16)을 가진 항등식을 임의 좌표계로 확장할 수 있다.
위에 제시한 항등식은 좌변과 우변을 모두 데카르트 좌표계에서 전개하여 좌우를 비교해서 증명해야 하기 때문에 과정이 지저분하다. 하지만 특별한 경우는 전과정이 아름답게 증명된다. 먼저 식 (5-1)은 식 (5-4)를 통해 쉽게 증명 가능하다. 식 (5-4)에서 $\bar A$, $\bar B$를 상호 교환해서 쓰면 다음을 증명할 수 있다.

                  (5-17)

식 (5-9)는 식 (5-7)과 (5-8)을 이용해 다음처럼 증명한다.

                  (5-18)

식 (5-10)은 부분 적분법(integration by parts)을 적용하여 증명한다.
식 (5-11)은 다이애드로 표현한 식 (5-6)을 이용해 바로 구할 수 있다. 혹은 식 (5-10) 셋째줄에 제시한 처음 두 항을 다이애드 표현식 (5-6)으로 단순화하여 증명할 수도 있다.  

[다음 읽을거리]
1. 텐서 미적분학

댓글 44개 :

  1. 안녕하세요 . 궁금한게 있는데요 3-2 에서 델연산자 ' 점은 무엇을 의미 하나요?

    답글삭제
    답글
    1. 관측점 $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점에 $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시합니다. 본문에 명시해야겠네요.

      삭제
  2. 저기 혹시.. 4-4식에서요 첫항이 ▽(A'B)이 아닌가요? 수리물리학책 arfken에서는 그렇게 되어있는데요? 어느게 맞는 식이죠? 저 식을 유도 할때 레비치타 기호 말고 순수히 삼중곱으로 증명이 가능한 가요?

    답글삭제
    답글
    1. 다시 계산해 봤는데 식 (4-4)는 문제없습니다. 저런 식 증명할 때는 어렵게 할 필요없습니다. 좌변과 우변이 같은 것만 보이면 됩니다.

      삭제
  3. 전 언제쯤 저렇게 수준 높은 질문과 답볍을 할 수 있을까? OTL T.T
    _____
    전파곰

    답글삭제
    답글
    1. 전파곰님, 천천히 하세요. ^^
      대부분 시간이 해결해줍니다. 급하게 하면 쉽게 포기합니다.

      삭제
  4. 관측점(observation point)와
    http://en.wikipedia.org/wiki/Overlook 는 어던 심오한 관게가 있는건가요?
    _____
    전파곰

    답글삭제
    답글
    1. 비슷하다고 볼 수 있겠네요. ^^
      내가 원천점을 볼 수 있으면 관측점입니다.

      삭제
  5. 기초적인 질문입니다.

    일딴 A와 B를 vector라 하고,
    식 (4-2)에서
    (∇.A)B 와B(∇.A) 이건 다른 건가가요?
    Scalar product은 교환법칙이 성립을 하고, 발산된 것은 Scalar 이므로 상수 취급을 해버리면 같아야 할 거같은데요.
    _____
    전파곰

    답글삭제
    답글
    1. 죄송요 또 오타네요.
      식 (4-2)에서 (A·∇)B 와B(∇·A) 이 두개의 항이 다른 건가가요?

      삭제
    2. 서로 다릅니다. 본문에 정의를 추가하겠습니다.

      삭제
    3. 감사드립니다.

      흐미 신세계네요. 좀 보고 생각하고 문의 드리겠습니다.

      삭제
    4. A와 B는 vector
      A = (Ax, Ay, Az)
      B = (Bx, By, Bz)
      단위 vector를 x^, y^, z^ 라고 할때,

      (A·∇)B
      = (Ax ∂/∂x + Ay ∂/∂x + Az ∂/∂z) (Bx x^ + By y^ + Bz z^ )
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂x x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂x y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂x z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      이렇게 되는건가요?

      삭제
    5. 죄송요 또 오타네요.

      (A·∇)B
      = (Ax ∂/∂x + Ay ∂/∂y + Az ∂/∂z) (Bx x^ + By y^ + Bz z^ )
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂y x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂y z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      이렇게 되는건가요?

      삭제
    6. 예, 배분 법칙이 적용된다고 생각하면 쉽습니다.

      삭제
    7. 질문이 좀 많이 거시기하고 긴데요.
      질문의 핵심은 식(4-1)을 어떻게 증명하는지 힌트좀 주시면, ....

      식(3-1)(3-2)를 제외하고 (3-6)까지는 증명을 해보았는데요.
      (3-7~9)까지는 같은 방식으로 하면 될거 같구요.
      그런데 식(4-1)부터 모르겠습니다. 어떻게 증명하는지 힌트좀 주시면, ....

      식(4-1)을 두가지로 해보았습니다.
      1. vector 삼중적을 이용하였는데, 결과가 우측을 전계를 하면,
      2∇(A·B) 가 되어서 아닌거 같다는 생각이 들구요.
      ---------------------------
      A×(∇×B) = ∇(A·B) - A(B·∇) = ∇(A·B) - (B·∇)A
      B×(∇×A) = ∇(A·B) - B(A·∇) = ∇(A·B) - (A·∇)B

      Vector 삼중적 전계한 것을 대입 하면,

      A×(∇×B) + B×(∇×A) + (A·∇)B + (B·∇)A
      = [∇(A·B) - (B·∇)A] + [∇(A·B) - (A·∇)B] + (A·∇)B + (B·∇)A
      = 2∇(A·B)
      ---------------------------

      2. 각각 다 풀어 해쳐 보았는데, 모르겠습니다.
      왠지 연산자의 0(zero) 인자와 관련이 있을거 같은데요.
      ---------------------------
      모든 항들을 전계를 해보면,

      ∇(A·B)
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂Bz/∂z z^
      + Bx ∂Ax/∂x x^ + By ∂Ay/∂y y^ + Bz ∂Az/∂z z^

      (A·∇)B
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂y x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂y z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      (B·∇)A
      = Bx ∂Ax/∂x x^ + By ∂Ax/∂y x^ + Bz ∂Ax/∂z x^
      + Bx ∂Ay/∂x y^ + By ∂Ay/∂y y^ + Bz ∂Ay/∂z y^
      + Bx ∂Az/∂x z^ + By ∂Az/∂y z^ + Bz ∂Az/∂z z^

      A×(∇×B)
      = Ay ∂By/∂x x^ + Az ∂Bz/∂x x^ - Ay ∂Bx/∂y x^ - Az ∂Bx/∂z x^
      + Az ∂Bz/∂y y^ + Ax ∂Bx/∂y y^ - Az ∂By/∂z y^ - Ax ∂By/∂x y^
      + Ax ∂Bx/∂z z^ + Ay ∂By/∂z z^ - Ax ∂Bz/∂x z^ - Ay ∂Bz/∂y z^

      B×(∇×A)
      = By ∂Ay/∂x x^ + Bz ∂Az/∂x x^ - By ∂Ax/∂y x^ - Bz ∂Ax/∂z x^
      + Bz ∂Az/∂y y^ + Bx ∂Ax/∂y y^ - Bz ∂Ay/∂z y^ - Bx ∂Ay/∂x y^
      + Bx ∂Ax/∂z z^ + By ∂Ay/∂z z^ - Bx ∂Az/∂x z^ - By ∂Az/∂y z^

      A×(∇×B) + B×(∇×A) + (A·∇)B + (B·∇)A - ∇(A·B) = 0
      이어야 하는데,
      = Ay ∂By/∂x x^ + Az ∂Bz/∂x x^
      + Az ∂Bz/∂y y^ + Ax ∂Bx/∂y y^
      + Ax ∂Bx/∂z z^ + Ay ∂By/∂z z^
      + By ∂Ay/∂x x^ + Bz ∂Az/∂x x^
      + Bz ∂Az/∂y y^ + Bx ∂Ax/∂y y^
      + Bx ∂Ax/∂z z^ + By ∂Ay/∂z z^

      마지막 12개 항이 남아요.
      ---------------------------

      삭제
    8. 본문에 조금 추가했습니다. 식 (4-8) 참고하세요.

      삭제
    9. 감사용.~~~~~
      퇴근 해서 보고 다시 문의 드리겠습니다.

      삭제
    10. 식(4-5)와 (4-6)은 tensor를 좀 알아야 증명할 수 있는건가요?
      _____
      전파곰

      삭제
    11. 식 (4-5)는 벡터만 알아도 됩니다. 식 (4-6)은 다이애드의 정의 정도만 알면 됩니다. 아래 링크 확인해보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/tensor.html

      삭제
    12. 1. 식 (4-5) vector r 이
      r = r_x x^ + r_y y^ +r_z z^
      로 정의하고 하면 되나요?
      아니면 구좌표와 관련이 있나요?

      2. 식(4-6)을 증명해보았는데, 혹시 봐주실 수 있으신지요.

      http://blog.daum.net/share_like_bear/42

      삭제
    13. 1. $\bar r = x \hat x + y \hat y + z \hat z$로 정의해야 합니다.

      2. 다이애드는 교환 법칙이 성립하지 않습니다. 제시한 유도에서는 이 부분을 무시했습니다. 하지만 최종 결과는 맞는 것 같습니다.

      삭제
    14. 감사드립니다. 이 은혜를 어찌 다 갚아야할지.~~~~~~
      좀더 해보고 문의 드리겠습니다.
      좋은 주말 되십시오.

      삭제
    15. 식 (2-4)를 vector 삼중적으로 증명을 해되 되는건가요?
      처음에는 의심을 전혀 안했는데,
      다른 항등식들이 하나가 같이 vector 삼중적을 적용하면 안되서요.

      삭제
    16. 안 됩니다. 벡터 삼중적은 벡터에만 쓰는 것입니다.

      삭제
    17. Del 연산자도 vector라서 될 수도 있을 거라 생각 했었는데, T.T
      감사용~

      삭제
    18. 델 연산자는 벡터가 포함되어 있지만 숫자가 아니고 엄연히 연산자입니다. 벡터처럼 쓰면 오류가 나올 수 있습니다.

      삭제
    19. 아~ 내가 이걸 다 증명을 해보다니,
      물론 재대로 한것인지는 몰겠지만요.

      주인장님에게 깊은 감사를 드립니다.

      삭제
    20. 잘 하셨을겁니다. 건투를 빕니다. ^^

      삭제
  6. xyz좌표계에서 증명하면 모든 직교좌표계에서 성립한다고 할 수 있나요?

    답글삭제
    답글
    1. 맞기는 한데요, 조건이 있습니다.
      연산자가 좌표 불변성을 가져야 합니다. 더 깊이 들어가려면 텐서 개념이 꼭 필요합니다. ^^

      삭제
    2. 아래 링크 읽어보시면 자세히 나옵니다. 간단히 설명드리면 좌표계를 바꾸더라도 그 수학적 본질은 바뀌지 않는 특성이 좌표 불편성입니다. (모든 연산자가 좌표 불변성을 가지지는 않습니다.) 좌표 불변성이 있으면 단순한 데카르트 좌표계 증명이 모든 좌표계로 확장될 수 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/tensor.html

      삭제
  7. 식 1-3 증명은 벡터를 모두 전개하는 방법 말고는 없나요?
    혹시 선형대수학을 이용해서 좀더 간단하게 풀 수는 없나요?

    답글삭제
    답글
    1. JiHoon님, 내적과 외적을 이용한 증명을 본문에 추가했습니다. 물론, 간단하게는 안됩니다. ^^

      삭제
  8. 안녕하세요. 벡터 공부를 막 시작한 학생입니다. ㅜㅜ
    저 정말 기초적인 것일 수도 있지만 몰라서 여쭤봅니다.
    4-2 증명 과정을 알고 싶습니다. 어떤 과정으로 저 식이 나오는지 궁금합니다. ㅜ

    답글삭제
    답글
    1. 좌변과 우변을 따로 계산해서 서로 비교해보면 됩니다. 특별한 규칙이 있는 것은 아닙니다, Jin Yu님.

      삭제
  9. B·(∇×A) = (B×∇)·A 가 성립하는지 묻는 문제를 봤는데요. 얼핏보면 안된다고 하고 싶은데 한번 정말 안되는지 증명을 하고 싶은데... 저기서 (B×∇)·A 이부분은 어떻게 계산을 해야하는건가요?

    답글삭제
    답글
    1. 식 (4-7)처럼 $\bar \nabla$를 연산자로 간주하여 벡터 외적을 계산하고, 이 결과를 벡터 A와 내적하면 됩니다.

      삭제
  10. http://blog.daum.net/sunyup/83

    불펌당하셨네요

    답글삭제
    답글
    1. 신고 감사합니다, 윤호이님. ^^ 귀찮아도 출처를 밝혔어야 하는데요.

      삭제
  11. 식 4.5에 벡터곱에 들어가는 r 벡터는 어떤 벡터인가요? 구좌표계의 r벡터인가요 아니면 임의의 벡터인가요?

    답글삭제
    답글
    1. 위치 벡터입니다. 구 좌표계의 $r$ 벡터이기도 하고요.

      삭제
    2. 감사합니다! 참고하겠습니다

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.