2010년 8월 6일 금요일

벡터 항등식(vector identity)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "벡터 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


아래에 미분 연산자가 없는 단순 벡터의 항등식을 소개한다. 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

                         (1-1)

                         (1-2)

                         (1-3)

                         (1-4)

식 (1-3)은 좌변과 우변의 항들을 비교하여 증명하지 않고 내적(inner product)과 외적(outer product)의 개념을 이용하여 증명할 수 있다. 식 (1-3)의 좌변을 보면, 좌변을 계산한 최종 벡터는 $\bar A$를 성분으로 가질 수 없다. 또한, 이 벡터는 $\bar B \times \bar C$에 수직이어야 하므로, 좌변의 벡터는 $\bar B, \bar C$로 구성되어야 한다. (∵ $\bar B \times \bar C$는 $\bar B, \bar C$가 구성하는 평면의 법선 벡터 방향을 가지기 때문이다.) 그러면 식 (1-3)의 좌변은 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (1-5)

식 (1-5)의 양변에 $\bar A$를 내적하여 정리하면 상수 $b, c$는 다음 관계를 가져야 한다.

                         (1-6)

다음으로 식 (1-6)의 결과를 식 (1-5)에 넣은 후, 양변에 $\bar B$를 내적하여 양변을 비교하면 다음의 최종 결과를 얻을 수 있다.

                         (1-7)

또한, 식 (1-5)의 좌변을 보면 벡터 $\bar A, \bar B, \bar C$의 이중 외적이므로 최종 벡터의 성분은 $\bar A, \bar B, \bar C$의 삼중곱으로 나와야 한다. 따라서, 반드시 $b = \bar A \cdot \bar C$가 성립해야 한다.

벡터 미분 연산중 라플라시안(Laplacian)은 아래와 같이 정의한다. 명칭 '라플라시안'에 있는 '-이안(-ian)'의 원뜻은 "-에서 나왔음"이므로 직역하면 "라플라스(Pierre-Simon Laplace)의 제안"이 된다. 하지만 이걸 그냥 우리말로 바꾸면 이상하므로 수학에 출현하는  '-이안(-ian)'은 의역하여 연산자(operator)라고 생각하면 된다. 즉,  "라플라스 연산자"를 줄여서 영어로 표현한 것을 라플라시안이라고 한다.

                         (2-1)

                         (2-2)

                         (2-3)

                         (2-4)

아래 공식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호비교하면 쉽게 증명할 수 있다. 또한, 아래 공식은 데카르트 좌표계에서 증명되었지만 좌표계의 등가성에 의해 다른 직교좌표계에서도 성립한다.

                         (3-1)

                         (3-2)

여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $R = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$, $\hat R = (\bar r - \bar r')/R$, $\bar r = (x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$.

                         (3-3)

                         (3-4)

                         (3-5)

                         (3-6)

                         (3-7)

                         (3-8)

                         (3-9)

여기서 벡터 $\bar A_0$는 상수벡터이다.

아래 공식은 데카르트 좌표계에서만 성립한다. 왜냐하면 구배, 발산, 회전 이외의 미분 연산자가 사용되었기 때문이다. 좀더 수학적으로 설명하면 아래 공식은 텐서(tensor) 연산이 아니라서 좌표 불변성(座標不變性, coordinate invariant or coordinate independent)이 성립하지 않는다. 아래 공식의 증명 자체는 쉽다. 위의 공식 증명과 동일하게 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

        (4-1)

        (4-2)

                         (4-3)

                         (4-4)

                         (4-5)

                         (4-6)

                         (4-7)

                         (4-8)

                         (4-9)

                         (4-10)

여기서 벡터 $\bar A_0$는 상수벡터, $\bar A \bar B$는 다이애드(dyad)이다. 위 항등식에 있는 특이한 미분 연산자는 다음처럼 정의한다.

                         (4-11)

위에 제시한 항등식은 증명 자체가 매우 지저분하다. 예를 들면 좌변과 우변을 모두 데카르트 좌표계에서 전개하여 좌우를 비교해서 증명해야 하기 때문이다.
(4-1)은 식 (4-4)를 통해 쉽게 증명 가능하다. 식 (4-4)에서 $\bar A$, $\bar B$를 상호 교환해서 쓰면 다음을 증명할 수 있다.

                  (4-12)

식 (4-9)는 식 (4-7)과 (4-8)을 이용해 다음처럼 증명한다.

                  (4-13)

식 (4-10)은 부분 적분법(integration by parts)을 적용하여 증명한다.

[다음 읽을거리]
1. 텐서 미적분학

댓글 44개 :

  1. 안녕하세요 . 궁금한게 있는데요 3-2 에서 델연산자 ' 점은 무엇을 의미 하나요?

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    답글
    1. 관측점 $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점에 $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시합니다. 본문에 명시해야겠네요.

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  2. 저기 혹시.. 4-4식에서요 첫항이 ▽(A'B)이 아닌가요? 수리물리학책 arfken에서는 그렇게 되어있는데요? 어느게 맞는 식이죠? 저 식을 유도 할때 레비치타 기호 말고 순수히 삼중곱으로 증명이 가능한 가요?

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    답글
    1. 다시 계산해 봤는데 식 (4-4)는 문제없습니다. 저런 식 증명할 때는 어렵게 할 필요없습니다. 좌변과 우변이 같은 것만 보이면 됩니다.

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  3. 전 언제쯤 저렇게 수준 높은 질문과 답볍을 할 수 있을까? OTL T.T
    _____
    전파곰

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    1. 전파곰님, 천천히 하세요. ^^
      대부분 시간이 해결해줍니다. 급하게 하면 쉽게 포기합니다.

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  4. 관측점(observation point)와
    http://en.wikipedia.org/wiki/Overlook 는 어던 심오한 관게가 있는건가요?
    _____
    전파곰

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    1. 비슷하다고 볼 수 있겠네요. ^^
      내가 원천점을 볼 수 있으면 관측점입니다.

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  5. 기초적인 질문입니다.

    일딴 A와 B를 vector라 하고,
    식 (4-2)에서
    (∇.A)B 와B(∇.A) 이건 다른 건가가요?
    Scalar product은 교환법칙이 성립을 하고, 발산된 것은 Scalar 이므로 상수 취급을 해버리면 같아야 할 거같은데요.
    _____
    전파곰

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    답글
    1. 죄송요 또 오타네요.
      식 (4-2)에서 (A·∇)B 와B(∇·A) 이 두개의 항이 다른 건가가요?

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    2. 서로 다릅니다. 본문에 정의를 추가하겠습니다.

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    3. 감사드립니다.

      흐미 신세계네요. 좀 보고 생각하고 문의 드리겠습니다.

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    4. A와 B는 vector
      A = (Ax, Ay, Az)
      B = (Bx, By, Bz)
      단위 vector를 x^, y^, z^ 라고 할때,

      (A·∇)B
      = (Ax ∂/∂x + Ay ∂/∂x + Az ∂/∂z) (Bx x^ + By y^ + Bz z^ )
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂x x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂x y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂x z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      이렇게 되는건가요?

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    5. 죄송요 또 오타네요.

      (A·∇)B
      = (Ax ∂/∂x + Ay ∂/∂y + Az ∂/∂z) (Bx x^ + By y^ + Bz z^ )
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂y x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂y z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      이렇게 되는건가요?

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    6. 예, 배분 법칙이 적용된다고 생각하면 쉽습니다.

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    7. 질문이 좀 많이 거시기하고 긴데요.
      질문의 핵심은 식(4-1)을 어떻게 증명하는지 힌트좀 주시면, ....

      식(3-1)(3-2)를 제외하고 (3-6)까지는 증명을 해보았는데요.
      (3-7~9)까지는 같은 방식으로 하면 될거 같구요.
      그런데 식(4-1)부터 모르겠습니다. 어떻게 증명하는지 힌트좀 주시면, ....

      식(4-1)을 두가지로 해보았습니다.
      1. vector 삼중적을 이용하였는데, 결과가 우측을 전계를 하면,
      2∇(A·B) 가 되어서 아닌거 같다는 생각이 들구요.
      ---------------------------
      A×(∇×B) = ∇(A·B) - A(B·∇) = ∇(A·B) - (B·∇)A
      B×(∇×A) = ∇(A·B) - B(A·∇) = ∇(A·B) - (A·∇)B

      Vector 삼중적 전계한 것을 대입 하면,

      A×(∇×B) + B×(∇×A) + (A·∇)B + (B·∇)A
      = [∇(A·B) - (B·∇)A] + [∇(A·B) - (A·∇)B] + (A·∇)B + (B·∇)A
      = 2∇(A·B)
      ---------------------------

      2. 각각 다 풀어 해쳐 보았는데, 모르겠습니다.
      왠지 연산자의 0(zero) 인자와 관련이 있을거 같은데요.
      ---------------------------
      모든 항들을 전계를 해보면,

      ∇(A·B)
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂Bz/∂z z^
      + Bx ∂Ax/∂x x^ + By ∂Ay/∂y y^ + Bz ∂Az/∂z z^

      (A·∇)B
      = Ax ∂Bx/∂x x^ + Ay ∂Bx/∂y x^ + Az ∂Bx/∂z x^
      + Ax ∂By/∂x y^ + Ay ∂By/∂y y^ + Az ∂By/∂z y^
      + Ax ∂Bz/∂x z^ + Ay ∂Bz/∂y z^ + Az ∂Bz/∂z z^

      (B·∇)A
      = Bx ∂Ax/∂x x^ + By ∂Ax/∂y x^ + Bz ∂Ax/∂z x^
      + Bx ∂Ay/∂x y^ + By ∂Ay/∂y y^ + Bz ∂Ay/∂z y^
      + Bx ∂Az/∂x z^ + By ∂Az/∂y z^ + Bz ∂Az/∂z z^

      A×(∇×B)
      = Ay ∂By/∂x x^ + Az ∂Bz/∂x x^ - Ay ∂Bx/∂y x^ - Az ∂Bx/∂z x^
      + Az ∂Bz/∂y y^ + Ax ∂Bx/∂y y^ - Az ∂By/∂z y^ - Ax ∂By/∂x y^
      + Ax ∂Bx/∂z z^ + Ay ∂By/∂z z^ - Ax ∂Bz/∂x z^ - Ay ∂Bz/∂y z^

      B×(∇×A)
      = By ∂Ay/∂x x^ + Bz ∂Az/∂x x^ - By ∂Ax/∂y x^ - Bz ∂Ax/∂z x^
      + Bz ∂Az/∂y y^ + Bx ∂Ax/∂y y^ - Bz ∂Ay/∂z y^ - Bx ∂Ay/∂x y^
      + Bx ∂Ax/∂z z^ + By ∂Ay/∂z z^ - Bx ∂Az/∂x z^ - By ∂Az/∂y z^

      A×(∇×B) + B×(∇×A) + (A·∇)B + (B·∇)A - ∇(A·B) = 0
      이어야 하는데,
      = Ay ∂By/∂x x^ + Az ∂Bz/∂x x^
      + Az ∂Bz/∂y y^ + Ax ∂Bx/∂y y^
      + Ax ∂Bx/∂z z^ + Ay ∂By/∂z z^
      + By ∂Ay/∂x x^ + Bz ∂Az/∂x x^
      + Bz ∂Az/∂y y^ + Bx ∂Ax/∂y y^
      + Bx ∂Ax/∂z z^ + By ∂Ay/∂z z^

      마지막 12개 항이 남아요.
      ---------------------------

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    8. 본문에 조금 추가했습니다. 식 (4-8) 참고하세요.

      삭제
    9. 감사용.~~~~~
      퇴근 해서 보고 다시 문의 드리겠습니다.

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    10. 식(4-5)와 (4-6)은 tensor를 좀 알아야 증명할 수 있는건가요?
      _____
      전파곰

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    11. 식 (4-5)는 벡터만 알아도 됩니다. 식 (4-6)은 다이애드의 정의 정도만 알면 됩니다. 아래 링크 확인해보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/tensor.html

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    12. 1. 식 (4-5) vector r 이
      r = r_x x^ + r_y y^ +r_z z^
      로 정의하고 하면 되나요?
      아니면 구좌표와 관련이 있나요?

      2. 식(4-6)을 증명해보았는데, 혹시 봐주실 수 있으신지요.

      http://blog.daum.net/share_like_bear/42

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    13. 1. $\bar r = x \hat x + y \hat y + z \hat z$로 정의해야 합니다.

      2. 다이애드는 교환 법칙이 성립하지 않습니다. 제시한 유도에서는 이 부분을 무시했습니다. 하지만 최종 결과는 맞는 것 같습니다.

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    14. 감사드립니다. 이 은혜를 어찌 다 갚아야할지.~~~~~~
      좀더 해보고 문의 드리겠습니다.
      좋은 주말 되십시오.

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    15. 식 (2-4)를 vector 삼중적으로 증명을 해되 되는건가요?
      처음에는 의심을 전혀 안했는데,
      다른 항등식들이 하나가 같이 vector 삼중적을 적용하면 안되서요.

      삭제
    16. 안 됩니다. 벡터 삼중적은 벡터에만 쓰는 것입니다.

      삭제
    17. Del 연산자도 vector라서 될 수도 있을 거라 생각 했었는데, T.T
      감사용~

      삭제
    18. 델 연산자는 벡터가 포함되어 있지만 숫자가 아니고 엄연히 연산자입니다. 벡터처럼 쓰면 오류가 나올 수 있습니다.

      삭제
    19. 아~ 내가 이걸 다 증명을 해보다니,
      물론 재대로 한것인지는 몰겠지만요.

      주인장님에게 깊은 감사를 드립니다.

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    20. 잘 하셨을겁니다. 건투를 빕니다. ^^

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  6. xyz좌표계에서 증명하면 모든 직교좌표계에서 성립한다고 할 수 있나요?

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    답글
    1. 맞기는 한데요, 조건이 있습니다.
      연산자가 좌표 불변성을 가져야 합니다. 더 깊이 들어가려면 텐서 개념이 꼭 필요합니다. ^^

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    2. 아래 링크 읽어보시면 자세히 나옵니다. 간단히 설명드리면 좌표계를 바꾸더라도 그 수학적 본질은 바뀌지 않는 특성이 좌표 불편성입니다. (모든 연산자가 좌표 불변성을 가지지는 않습니다.) 좌표 불변성이 있으면 단순한 데카르트 좌표계 증명이 모든 좌표계로 확장될 수 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/tensor.html

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  7. 식 1-3 증명은 벡터를 모두 전개하는 방법 말고는 없나요?
    혹시 선형대수학을 이용해서 좀더 간단하게 풀 수는 없나요?

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    답글
    1. JiHoon님, 내적과 외적을 이용한 증명을 본문에 추가했습니다. 물론, 간단하게는 안됩니다. ^^

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  8. 안녕하세요. 벡터 공부를 막 시작한 학생입니다. ㅜㅜ
    저 정말 기초적인 것일 수도 있지만 몰라서 여쭤봅니다.
    4-2 증명 과정을 알고 싶습니다. 어떤 과정으로 저 식이 나오는지 궁금합니다. ㅜ

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    답글
    1. 좌변과 우변을 따로 계산해서 서로 비교해보면 됩니다. 특별한 규칙이 있는 것은 아닙니다, Jin Yu님.

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  9. B·(∇×A) = (B×∇)·A 가 성립하는지 묻는 문제를 봤는데요. 얼핏보면 안된다고 하고 싶은데 한번 정말 안되는지 증명을 하고 싶은데... 저기서 (B×∇)·A 이부분은 어떻게 계산을 해야하는건가요?

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    1. 식 (4-7)처럼 $\bar \nabla$를 연산자로 간주하여 벡터 외적을 계산하고, 이 결과를 벡터 A와 내적하면 됩니다.

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  10. http://blog.daum.net/sunyup/83

    불펌당하셨네요

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    답글
    1. 신고 감사합니다, 윤호이님. ^^ 귀찮아도 출처를 밝혔어야 하는데요.

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  11. 식 4.5에 벡터곱에 들어가는 r 벡터는 어떤 벡터인가요? 구좌표계의 r벡터인가요 아니면 임의의 벡터인가요?

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    답글
    1. 위치 벡터입니다. 구 좌표계의 $r$ 벡터이기도 하고요.

      삭제
    2. 감사합니다! 참고하겠습니다

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