2011년 10월 13일 목요일

디랙 델타 함수(Dirac delta function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "디랙 델타 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한의 의미
2. 적분법의 의미


[그림 1] 델타 함수의 개념적 정의(출처: wikipedia.org)

델타 함수(delta function)는 좌표계(coordinate system) 상에서 점(點, point)을 정의하기 위해 사용한다. 여러 수학자들이 비슷한 개념을 사용했지만 1927년에 디랙(Paul Dirac)이 쓴 양자 역학(量子力學, quantum mechanics) 책이 유명해져서 델타 함수의 이름에 디랙이 붙게 되었다. 디랙은 행렬 이론(matrix theory)에 등장하는 식 (1)의 크로네커 델타(Kronecker delta)의 연속 함수(continuous function) 형태가 델타 함수라 생각해서 이와 같은 이름을 붙였다.

                       (1)

예를 들어 1차원 좌표계 상에서는 개념적으로 [그림 1]처럼 점을 생각할 수 있다. [그림 1]을 좀더 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

                       (2-1)

                       (2-2)

점을 표현하기 위한 것이라면 $x = 0$이라 하면 되지 않나? 식 (2-1)은 점을 표현하기에는 너무 복잡해 보인다. 하지만, 델타 함수를 사람들이 왜 쓰는가를 봐야한다. 델타 함수는 미분 방정식(differential equation)을 풀기 위해 사용한다. 미분 방정식에 합당한 델타 함수를 잘 정의해야 문제를 풀 수 있기 때문에 $x = 0$과 같은 초보적인 정의는 별의미가 없다.
식 (2-2)는 델타 함수의 특성을 고려하면 당연하다. 델타 함수는 $x = x'$인 경우에만 값이 존재하므로 $x, x'$를 바꾸더라도 값은 서로 같다. (∵ $x = x'$와 $x' = x$는 서로 동일하다.)

식 (2-1)의 정의는 수학자들이 좋아하는 표현식이 아니다. 왜냐하면, 무한대가 들어가기 때문이다. 잘 아는 것처럼 무한대는 숫자가 아니고 수가 커져가는 상태이기 때문에 식 (2-1)로 정의하면 델타 함수를 명확하게 정의할 수는 없다. 그래서, 아래와 같은 적분 정의가 제대로된 델타함수 정의이다.

                       (3)

수학자들이 괜히 식 (3)을 좋아하는 것이 아니고 적분이 나오기 때문에 미분 방정식의 답을 구할 때 무지하게 유용하다. 이런 방식의 미분 방정식 풀이법은 그린 함수(Green's function) 방법이라 부른다.
예를 들면 임의의 함수 $f(x)$는 식 (3)의 양변에 $f(x)$를 곱해서 아래처럼 적분으로 표현할 수 있다.

                   (4)

여기서 $\delta(x-x')$는 식 (2-1)의 정의에 의해 $x = x'$에서는 무한대이고 $x \ne x'$이면 0인 디랙 델타 함수이다. $\delta(x-x')$는 $x = x'$에서만 값을 가지므로 $f(x) \delta(x-x') = f(x') \delta(x-x')$가 되어 식 (4)가 증명된다. (∵ $x \ne x'$인 경우는 $\delta(x-x')$이 0이므로 $f(x)$에 관계없이 항상 같다.)

그런데 식 (2-1)이나 (3)으로 정의할 수 있는 연속함수는 잘 떠오르지 않는다. 그래서, 델타 함수를 정의할 때는 [그림 2]처럼 항상 극한(limit) 개념을 사용해서 정의한다.

Illustration of approximating the Dirac delta ...
[그림 2] 극한을 이용한 델타 함수 정의(출처: wikipedia.org)

극한을 이용해서 델타 함수를 정의한다는 것은 델타 함수를 만들 수 있는 극한이 하나가 아니고 여러 경우가 있을 수 있다는 뜻이다. 따라서, 아래에 델타 함수 정의인 식 (3)을 만족할 수 있는 다양한 예들을 소개한다. 단순히 생각하면 델타 함수는 식 (3)의 성질을 가진 함수를 표현하기 위한 일종의 표기법이 된다. 수학적으로 델타 함수는 분포(distribution) or 일반화 함수(generalized function)의 아주 좋은 예가 된다.

[그림 3] 구형함수(출처: wikipedia.org)

[5. 구형함수 이용한 정의]

                       (5)

[증명]
[그림 3]의 구형함수(矩形函數, rectangular function)는 아래로 정의한다.

                       (6)

구형함수의 면적은 1이기 때문에 상수 $a$만 잘 곱하면 식 (5)를 증명할 수 있다. 식 (6)에 의해 $a|t| = 1/2$이 되는 값은 $t = \pm 1/(2a)$가 된다. 그래서, ${\rm rect}(t) = 1$이 되는 구간은 $1/a$가 된다. $a$가 무한대로 가면 이 구간이 0으로 가기 때문에 식 (3)의 정의중 일부가 만족된다. 또한 식 (3)에 의해 구형함수의 적분값(or 면적)이 1이 되어야 하므로 이 결과에 $a$가 곱해지면 식 (5)가 증명된다.
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구형함수 정의인 식 (6)은 좀 인위적인 냄새가 난다. 그래서, 연속함수의 극한으로 식 (6)을 다시 정의해보자.

                       (7)

변수 $t$에 구체적인 숫자를 넣어 극한을 취해보면 식 (7)과 (6)이 동등한 것을 쉽게 보일 수 있다. 그러면 델타 함수를 좀더 예쁘게 정의할 수 있다.

                       (8)

[그림 4] 가우스 함수(출처: wikipedia.org)

[9. 가우스 함수 이용한 정의]

                       (9)

[증명]
가우스 함수(Gaussian function)의 아래 특성을 이용해 델타 함수를 정의해보자.

                       (10)

식 (10)에서 변수치환을 하면 아래를 얻을 수 있다.

                       (11)

$a$가 0으로 접근하면 $x \ne 0$에서는 함수값이 0이 되고 $x = 0$에서는 발산해서 식 (3)의 정의를 만족한다.
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[그림 5] 표본 함수(출처: wikipedia.org)

[12. 표본 함수 이용한 정의]

                       (12)

[증명: 푸리에 변환쌍]
표본 함수(sampling function) ${\rm Sa}(\cdot)$의 적분은 매우 까다로우므로 아래의 푸리에 변환쌍(Fourier transform pair)을 먼저 고려하자.

                       (13)

식 (6)에 정의된 구형함수의 푸리에 변환은 표본 함수가 된다. 이를 이용해 표본 함수의 적분을 구하면 다음과 같다.

                       (14)

여기서 ${\rm rect}(0) = 1$.
식 (14)의 결과에 변수치환($t \to at$)을 하면 아래를 얻을 수 있다.

                       (15)

식 (15)는 상수 $a$에 관계없이 성립하므로 $a$를 무한대로 보내보자. 그러면 $t = 0$인 점에서는 발산하는 것을 볼 수 있다.
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[증명: 푸리에 변환의 완비성]
식 (19)의 적분으로부터 다음이 성립한다.

                       (16)
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식 (12)는 엄밀한 의미에서 델타 함수는 아니다. 델타 함수가 되려면 $t \ne 0$ 영역에서 0이 되어야 하지만 $t$가 무한대로 가는 경우를 제외하고는 식 (12)가 0이 되지는 않는다. 하지만 식 (12)는 식 (4)를 아래와 같이 만족한다.

                       (17)

그래서 식 (12)와 같은 종류의 델타 함수를 발생기 델타 함수(發生期, nascent delta function)라 부른다. 발생기 델타 함수는 델타 함수를 정의하기 위한 극한을 취하기 전에는 식 (3)이 성립하지 않지만 극한을 취함으로써 식 (3)이 성립하여 델타 함수가 된다는 의미다. 예를 들면, 식 (11)과 (15)는 식 (3)과 닮아있지만 극한을 취하지 않아 $t \ne 0$ 영역에서 0이 되지 않는다. 비슷하게 식 (12)도 $t \ne 0$ 영역에서 0이 되지 않지만 식 (4)가 성립하기 때문에 발생기 델타 함수라 할 수 있다.
델타 함수는 어차피 미분 방정식을 풀기 위해 사용하므로 발생기 델타 함수를 사용하더라도 대세에는 지장이 없다.

[그림 6] 단위 계단 함수(출처: wikipedia.org)

[18. 단위 계단 함수 이용한 정의]

                       (18)

[증명]
단위 계단 함수(unit step function)는 제안지 이름을 따서 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)라고 하기도 한다. 이름은 거창하지만 특성은 [그림 6]처럼 단순하다. 식 (18)을 식 (3)에 넣어 계산해보자.

                       (19)

[그림 6]을 참고하면 단위 계단 함수의 미분은 $t = 0$ 지점을 제외하고는 모두 0이므로 식 (3)을 정확히 만족한다.
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[20. 푸리에 변환 이용한 정의]

                       (20)

[증명]
푸리에 변환의 완비성(completeness of Fourier transform)으로 쉽게 증명가능하다.
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[21. 한켈 변환 이용한 정의]

                      (21)

[증명]
한켈 변환의 특성(Hankel transform)으로부터 증명한다.
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[22. 고유 함수의 무한 급수로 정의]

                      (22)

여기서 $\psi_m (x)$는 스투름-리우빌 미분 방정식(Sturm-Liouville differential equation)의 정규 직교 고유 함수(orthonormal eigenfunction)이다.

[증명]
고유 함수의 완비성(completeness of eigenfunctions)에 의해 증명 가능하다.
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[23. 푸리에 급수 이용한 정의]

                  (23)

[증명]
푸리에 급수(Fourier series)도 고유 함수이므로 식 (22)를 이용해 증명 가능하다. 아니면 푸리에 급수의 완비성(completeness of Fourier series)을 이용해도 된다. 푸리에 급수 증명에 디리클레 핵심(Dirichlet kernel)이 사용되므로 식 (23)은 다음처럼 표현할 수도 있다.

(24)
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[다음 읽을거리]
1. 그린 함수

댓글 48개 :

  1. 저만 그런지 모르겠지만...식이 다 깨져서 안보여서...정말 필요한 부분인데요;;ㅠㅜ

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  2. 구글 자체가 안되는 경우 가끔씩 그럽니다. 블로그 문제는 아니니 잠시후에 다시 접속해보세요.

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  3. 푸리에변환으로 정의할때 완비성으로 증명을 어떻게 하나요? 궁금하네요

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  4. 다양한 방법으로 증명가능합니다.

    1. 복소함수론 이용
    - 식 (19)에서 t ≠ t'이면 피적분함수가 해석함수(analytic function)이므로 유수(residue)가 0이라서 전체적분은 0이 됩니다.
    - t = t'이면 피적분함수는 1이 되고 적분구간이 무한대라서 발산합니다.

    2. 푸리에 급수 이용
    - 먼저 푸리에 급수의 완비성을 증명: 스투름-리우빌 이론으로 쉽게 증명
    - 푸리에 급수의 극한이 푸리에 변환이므로 증명 완성

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  5. 푸리에 급수와 같은 고유함수들의 완비성은 여기에 증명되어 있습니다.
    http://ghebook.blogspot.com/2011/12/completeness-of-eigenfunctions.html

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  6. 4번식이 맞는건지요?
    delta(x'-x)의 의미가 무엇인지요?

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    1. 식 (4)는 맞는 식입니다.

      δ(x-x')의 의미는 x = x'에서는 무한대이고 x ≠ x'이면 0인 디랙 델타 함수입니다.

      식 (4)에서 δ(x-x')는 x = x'에서만 값을 가지므로 f(x)δ(x-x') = f(x')δ(x-x')가 됩니다.

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    2. 빠르고 정확한 설명 감사합니다. 종종 와서 질문 하겠습니다. 역학을 공부하고 있는데 수학적인 지식이 조금 부족해서요... 감사합니다.

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    3. 언제든 환영입니다. ^^ 자주 오세요.

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  7. 이 글하고는 관계없는 내용인데 하나만 여쭤볼게요
    제가 회로 및 시스템을 공부중인데요
    연속시간에서 퓨리에 시리즈에서 직교표현을 하는 부분인데요.
    어떤 신호가 들어오면 그 신호에 대해서 공의 복소수인지 컨벌루션 한건지 지수에 *가 붙어있는 또다른 어떤수를 곱해줘서 A부터 B 구간까지 적분하면 델타 함수가 같이 나오는데요.
    어떤 수를 곱해주는 이유는 뭔가요? 그리고 적분해서 나오는 값이 어떤 값인가요??

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    1. 설명만으로는 잘 모르겠네요. -.-;;
      적분하는 부분은 직교성인것 같은데요, 푸리에 급수의 완비성으로 인해 직교성이 성립하므로 직교관계를 통해 신호를 분석할 수 있습니다.

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  8. 안녕하세요. 먼저 도움이 되는 글 잘 읽었습니다.

    식(4)에 대해 질문이있습니다.

    식에는 δ(x'-x)라고, 괄호안에 x'이 먼저 나오고,식 밑에 설명은 f(x)δ(x-x') = f(x')δ(x-x') 이렇게 x'이 뒤에 나오는데요,

    δ(x'-x) 과 δ(x-x') 은 어떤 차이가 있는건지 알려주시면 고맙겠습니다.

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    1. 방문 감사합니다. ^^

      식 (4)는 $f(x)$를 $f(x')$로 바꾸었습니다. 식 (1)의 델타 함수 정의로 인해 $x = x'$에서만 값이 있고 나머지는 0이므로 모든 $x$에 대해 $f(x) \delta(x'-x) = f(x') \delta(x'-x)$가 성립합니다.

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    2. 빠른(!) 답변 감사합니다.

      다만, 제가 잘 못알아 먹어서 다시 한 번 확인하는 것이

      http://img59.imageshack.us/img59/9292/45624614.jpg

      위 주소의 그림파일을 봐 주시면 제 질문을 바로 알아채실텐데,

      식엔 δ(x'-x)라 해서 괄호안에 x'이 먼저 나오고
      밑에 설명엔'여기서 δ(x−x′)는 식 (2)의 정의에 의해...' 라고 해서 괄호안에 x가 먼저 나옵니다.

      그럼 ∫f(x')δ(x'-x)dx'=∫f(x')δ(x-x')dx' 라 할 수 있는 건지 알려주시면 고맙겠습니다.

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    3. 디랙 델타 함수는 정의식 (2)를 보더라도 대칭입니다. 그래서 $\delta(x-x') = \delta(x'-x)$가 성립합니다.

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  9. (14)식에서 sa의 적분값이 왜 pi가 되는지 알수잇을가요..

    두 함수의 곱에 대한 적분에서 저렇게 바로 나올수 잇는건지

    아니면 다른 과정이 생략된건지 이해가 조금안되네요

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    1. ${\rm rect}(0) = 1$이기 때문에 식 (14)의 최종값이 나옵니다. 식 (14)의 우변을 계산한 후 $\pi$를 이항해 보세요.

      표본 함수를 바로 적분하기는 매우 어렵습니다.

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  10. 와우~ 잘 보고 갑니다. 다 본것은 아니지만, 알기 쉽게 상세하게 설명을 해 주셔서... 필요한 부분을 잘 참고 했습니다. ^^

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  11. 라플라스변환으로도 정의할수잇어요 그냥 정보하나 알려드립니다

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    1. 예, 맞습니다, 강태성님. 델타 함수는 유일한 것이 아니고 아주 다양하게 정의할 수 있습니다.

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  12. 아 정말 좋은정보 감사합니다~~ 식 (14)번에 헷갈렸는데 t에 0을 대입하고 w/2를 t로 치환적분한건가요? ㅎㅎ

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  13. 2-1의 정의와
    적분으로 정의하는 3이
    어떻게 같은건가요???

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    1. 한 점을 제외한 모든 점에서 0인 함수의 적분이 1이기 때문에 $x = 0$인 점에서 발산한다는 것을 알 수 있습니다.
      하지만 무한대는 계속 값이 커지는 상태라 식 (2-1)과 (3)을 비교할 때는 주의를 해야 합니다.

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  14. 델타 함수와 관련된 건지 모르겠지만 질문 드립니다.

    신호와 시스템에서 ctft 즉 continuous time fourier transform을 통해 unit step function u(t)의 ctft를 유도하는 과정을 배웠습니다. 근데 유도하는 과정에서 처음에 du(t)/dt=d(t)로 둔 후 계산을 통해서 u(t)의 ctft는 1/jw+cd(w)로 나왔거든요? 참고로 이 때 c는 실수입니다.

    이후에 u(0)=1/2를 통해서 c=pi를 찾았습니다. 결국 u(t)의 ctft는 1/jw+pid(w)로 유도가 됐는데 u(0)의 값에 대해서 궁금합니다.

    위키피디아에 보니 u(t)의 t=0일 때의 값은 정의되지 않았고 이를 정의할 때는 사용하는 목적에 따라 크게

    1. u(0)=0
    2. u(0)=1
    3. u(0)=1/2

    로 정의를 하더군요.

    근데 왜 u(t)의 ctft를 구할 때 u(0)=1/2로 정의했는지 이해가 되지 않습니다. 라플라스 변환을 보면 u(t)의 라플라스 변환이 1/s니까 이 때는 u(0)=0로 정의해서 나온 결과가 아닌가요?

    왜 u(t)의 ctft를 구할 때 u(0)=1/2로 정의했는지 알고 싶습니다.

    언제나 거북이님의 좋은 블로그 글 보면서 많은 것을 배워갑니다!

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    1. 익명님, 좋은 질문 감사드립니다.

      1. 말씀하신 대로 불연속성 때문에 $t = 0$ 지점의 단위 계단 함수는 정하기 나름입니다. 다만, 심정적으로 0과 1의 평균값이 1/2이니 이걸로 정할 뿐입니다.

      2. 푸리에 변환은 적분이기 때문에, $t = 0$에 정의되는 값은 어떤 것이 되더라도 관계없습니다. ($t = 0$에서 정의된 값이 무한대만 아니라면)

      3. 단위 계단 함수의 푸리에 변환 증명은 쉽지 않습니다. 학부 수준책에서는 부호 함수(sign function)를 이용해 증명하지만, 수학적 엄밀성은 많이 떨어집니다.

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    2. 좋은 답변 감사합니다. step function이 이렇게 귀찮은 함수라는 건 이번에 처음 알았네요.

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  15. 전파거북님께서 설명하시면서 쓴식들이 $로 나오네요..모바일이지만... 어떻게하면 제대로 볼수있나요??

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    1. PC로 보셔야 합니다. 모바일이면 블로그 아래에 있는 "웹 버전 보기"를 눌러보세요. 수식이 보일 것입니다.

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    2. 정말로 감사합니다!!! 전파거북님 좋은자료감사합니다~~^^

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  16. 식 10은 어떻게 증명되나요??

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    1. 익명님, 식 (10)은 그 자체가 가우스 함수의 적분을 증명한 것입니다. 어떤 부분이 모호한가요?

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  17. 제가 디랙 델타 함수와 단위 임펄스 함수를 1주 반만에 마스터 까지는 아니지만 거의 이해해야 하는데 이 포스팅 뿐만 아니라 다른 것도 찾아보면서 하면 가능할까요? 저는 미적분 2까지 선행을 마추었습니다. 이 포스팅도 매우 도움이 됬지만 공부할 수 있는 다른 방법들도 있을까요? 중학교 3학년입니다. 인터넷에는 너무 어렵게 설명되어있어서요 ㅠㅠ

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    1. 고준혁님, 중3 학생이 대단하네요. ^^
      델타 함수를 잘 이해하려면 적분과 극한을 알아야 합니다. 이 부분에 대한 준비가 되어 있으면 충분히 이해 가능합니다.

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    2. 감사합니다. 그러면 인터넷으로 계속 포스팅 보면서 공부하면 충분히 이해할 수 있겠죠? 혹시 수학 선생님께 질문하면 설명해주실 수 있으신 내용인가요?

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    3. 교재와 인터넷을 참고하면 충분히 이해할 수 있습니다.
      디랙 델타 함수는 물리학적 개념이라서 수학 선생님이 설명하기 어려울 수 있어요. ^^

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    4. 감사합니다. 열심히 해보겠습니다.

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  18. 안녕하세요, 궁금한 점이 있는데요. 전체면적에서 디렉델타함수를 적분하면 1이 나오는 부분에서요.
    특이점?이라 해야되나요? delta(x)의 함수의 경우엔 적분구간이 원점을 포함하면 1이 나오고, 포함하지 않으면 0이 나오는 것까진 알겠는데요.
    만약 적분구간이 원점까지 절반만 걸쳐지면 어떻게 되나요? 0.5인가요? 정의되지 않나요?

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    1. 1. 점은 나눌 수 없습니다. 그래서 원점까지 절반만 걸칠 수 없어요.

      2. 만약 $0^+$로 접근한다면 적분값은 0입니다. $x = 0$이 포함되지 않기 때문입니다.

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  19. 사이트 올 때마다 느끼지만 저의 부족함과 전파거북이님의 내공이 느껴지네요
    저도 언젠가는 레벨업이 되겠지요 ^^ 수학 참 어렵네요...
    앗.. 항상 감사히 잘 보고 있습니다 좋은 자료 감사드려요

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    1. 칭찬 감사합니다, 익명님. ^^
      수학을 쉽다고 생각하는 사람은 극소수라서, 이해할 때까지 집요하게 공부해야죠.

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  20. 안녕하세요 신호및 시스템 공부중에 방문하게 되었는데요.. 임펄스함수의 적분이 가능한가요?? 역 푸리에 변환에서 jw를 시간영역으로 연변환 하려는데 잘 안되서 어떻게 하다보니 시간영역 임펄스 미분이 역변환 결과가 되는데 임펄스를 어떻게 미분할지 막막하네요..

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    1. 델타 함수는 원래 식 (3)처럼 정의하려고 도입한 것입니다. 당연히 델타 함수의 적분은 가능합니다. 미분도 가능하고요. 다만 델타 함수 정의를 기준으로 계산해야 합니다.

      부가적으로 위 본문에서 강조하고 있는 것은 델타 함수가 고정된 어떤 함수라기 보다는 함수의 특별한
      성질을 표현하는 표기법이라는 것입니다.

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  21. 전차거북이님 안녕하세요. 식(17) 에서 3번째에 limit가 중복되어있습니다. 하나를 지워야 할 것 같아 수정 문의드립니다.

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    답글
    1. 이기주님, 식 (17)은 의도적으로 그렇게 쓴 것입니다. 현재가 맞습니다. ^^

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