2013년 3월 3일 일요일

전자파의 운동량(momentum of electromagnetic wave)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전자파의 운동량"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 뉴튼의 운동 법칙
2. 에너지의 개념
3. 균일 평면파의 의미
4. 포인팅의 정리

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파동의 에너지와 운동량 관계식을 이용하면 전자파운동량(momentum of electromagnetic wave)을 정의할 수 있다.

                           (1)

식 (1)에서 전자파의 속도는 $c$로 일정하기 때문에 전자파가 전달되는 속도방향 운동량 $p_c$는 다음으로 쓸 수 있다.

                           (2)

여기서 $v$는 우리가 적분하려는 체적(volume)이다.
식 (2)의 좌변에 있는 운동량도 우변의 전자파 에너지 밀도(energy density of electromagnetic wave)처럼 단위체적당 운동량 $\mathfrak{p_c}$로 바꾸면 다음을 얻는다.

                           (3)

식 (3)을 간략화하기 위해 우리가 생각하는 전자파를 균일 평면파(uniform plane wave)로만 한정하자. 먼저 평면파의 다음 성질을 기억하자.

                         (4)

여기서 $\bar k$는 파수 벡터(wavenumber vector)이다. 식 (4)를 식 (3)에 대입하면 다음을 얻는다.

                         (5)

여기서 $\bar k = k_0 \hat k$, $k_0 = \omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$, $\eta_0 = \sqrt{\mu_0 / \epsilon_0}$이다. 전자파 운동량의 방향은 파수 벡터의 방향이어야 하므로 식 (5)를 벡터적으로 표현하면 다음과 같다.

                         (6)

신기하게도 전자파 운동량 밀도(momentum density)포인팅 벡터(Poynting vector)와 밀접한 관계를 가진다. 또한 전자파의 복사압력(electromagnetic radiation pressure) 정의 $\mathfrak{\bar f}$를 이용하면 다음 관계도 얻는다.

                       (7)

                       (8)

위 정의에서 켤레 복소수(complex conjugate)는 큰 의미없다. 켤레 복소수가 들어간 정의는 페이저(phasor)를 사용했다는 뜻이다.

식 (8)의 전자파 운동량 밀도를 이용해 전자파의 각운동량 밀도(angular momentum density)를 정할 수 있다.

                       (9)

아래 맥스웰 방정식을 식 (9)에 대입하면 다음을 얻는다.

                       (10: 패러데이의 법칙)

                       (11)

식 (11)에 다음 벡터 항등식(vector identity)을 적용해보자.

                         (4-4)

                         (4-5)

                (12)

식 (12)의 세째항을 계산하기 위해 다음 다이애드(dyad) 기반 벡터 항등식을 고려하자.

                         (13)

                       (14)

또한 우리가 계산하고 있는 것은 각운동량 밀도이므로 식 (14)는 다음 체적적분과 관련되어 있다.

                       (15)


[그림 1] 자전과 공전 각운동량(출처: wikipedia.org)

식 (15)를 식 (12)에 대입하면 전자파의 각운동량 밀도를 다음 두 성분으로 나눌 수 있다.

                       (16)

$\mathfrak{\bar J_{\rm SAM}}$은 선형 편파(LP: Linear Polarization) 경우 0이고 원형 편파(CP: Circular Polarization)는 값이 있으므로 자전 각운동량(SAM: Spin Angular Momentum)이라 부른다. 자전 각운동량은 원형 편파이므로 전자파 전달축 중심에서도 전기장과 자기장이 존재한다. (물론 원형 편파이므로 모든 파면에서 전자파 전력 분포가 동일하다.)
$\mathfrak{\bar J_{\rm OAM}}$은 축($\bar r$)을 기준으로 계산하고 있으므로 공전 각운동량(OAM: Orbital Angular Momentum)이라 한다. 자전 각운동량과는 다르게 전자파 전달축 근방에서는 전자파 전력이 없고, 전달축에서 떨어진 특정한 반지름 위치의 전자파 전력이 최대가 된다. (전자파의 전력 분포 특성이 공전 궤도와 매우 유사하다.)

[참고문헌]
[1] R. Fitzpatrick, Electromagnetic Energy and MomentumClassical Electromagnetism2006.
[2] K. T. McDonald, "Orbital and spin angular momentum of electromagnetic fields," Physics Examples, 2009.

[다음 읽을거리]
1. 자기 단극자

댓글 19개 :

  1. 전자파의 운동량 Pc가 왜 저렇게 (2)와 같이 나오는지는 잘 모르겠습니다. ㅠ_ㅠ

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    1. 전자파의 속도가 일정하기 때문인데요 아래 링크의 식 (11)에 증명되어 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/09/energy.html

      위 식 (2)의 가장 우변은 전자파의 에너지 밀도입니다. 아래에 증명되어 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/03/poyntings-theorem.html

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  2. 안녕하십니까 동아대학교 신소재공학과에 다니는 학생입니다. 죄송합니다만 여쭙고 싶은것이 있는데 특허문제로 글로 남기기는 힘들것같아서 실례인줄 알지만 연락 주시면 안될까 여쭙습니다. 010 4414 1246 으로 연락 부탁 드려봅니다

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    1. 필요하면 iGhebook@Gmail.com 으로 이메일 주세요. ^^
      질문은 언제든 환영합니다.

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  3. 확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간약속을 사용하고 있습니다.

    이 도대체 무슨말인지요? 시누소이드 파형과 같이 정확하다는 의미인가요?

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    답글
    1. 아닙니다. 페이저(phasor)를 정의할 때 어떤 시간 기준을 사용할 것인지를 명시한 것입니다.
      아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/maxwells-equations-using-phasor.html

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  4. 15식은 왜 0이 되는 것인가요? 궁금합니다. ~~

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    1. 우리가 생각한 면적 적분의 방향을 $r$방향으로 정했습니다. 그래서, 피적분 함수와 면적 적분소가 수직이 되어 0이 됩니다.

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  5. 식 (5)에서, 공간에 저장된 에너지량을 포인팅 벡터를 c로 나눈 값으로 표현하셨는데 포인팅 벡터 자체가 에너지 벡터인데 그런 결론이 가능한지 잘 받아들여지지 않습니다. 제가 잘못생각하고 있는건가요?

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    1. 다시 생각해보니, 포인팅 벡터는 에너지가 아닌 전력 벡터라고 보는게 맞군요! 그럼, 전력벡터를 c로 나눈 것이 곧 에너지밀도라는 결론이 나오는 것인가요?

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    2. 포인팅 벡터의 속도가 c이기 때문이군요.

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    3. 식 (5) 위쪽에 있는 설명이 식 (5)의 증명입니다. 포인팅 벡터는 전기장과 자기장으로 구성되기 때문에 이동 속도는 항상 광속($c$)입니다.

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  6. 전자파 각운동량의 분해를 명쾌하게 보여 주셔서 감사합니다.
    몇가지 질문이 있습니다.
    1) Momentum을 정의 할때 마지막에 체적 적분이 되어야 하는것이 아닌가요? 기준점 r에 대하여?
    2) linear momentum과 angular momentum을 나눌때? 에너지 보존은 어떻게 되나요? Poynting vector를 기준으로.... 저식으로는 선형운동량의 요소가 각운동량의 요소가 될수 없어 보이는데..
    3) 참고한 reference 를 알수 있을까요? (SAM+OAM)

    감사합니다. 항상 정말로 잘 보고 있습니다.

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    1. 방문 감사합니다, PWC님. ^^

      1. 유도 과정에서는 모두 (각운동량의) 밀도로 표현했습니다. 각운동량을 얻으려면 당연히 체적 적분을 하면 됩니다.

      2. 유도의 출발점은 포인팅이 예측한 전자파의 운동량입니다. 이걸로 각운동량을 정의해 계산한 것입니다.

      3. 전자파 각운동량이 SAM과 OAM으로 분리된다는 걸 보고 한 번 해본 것입니다. SAM과 OAM으로 검색하면 참고문헌이 많이 나오네요. [2]에 하나 더 추가했습니다.

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    2. 답글 감사합니다.
      한가지 더 질문 드리면...
      SAM, OAM이 가지는 공식에 대한 물리적 의미를 설명해주실 수 있나요?

      감사합니다.

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    3. SAM과 OAM은 자전과 공전을 생각하면 됩니다.
      전자파에서 자전에 해당하는 것은 원형 편파(CP: circular polarization)를 의미합니다.
      공전은 전자파 분포 관점에서 봐야 합니다. 축방향 중심에는 전자파 전력이 거의 없고, 특정한 반지름 위치에 전자파 전력이 최대가 됩니다.

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    4. 질문 하나 더 드리겠습니다ㅜㅜ

      식 (4)를 식 (3)에 대입해서 식 (5)를 얻는 과정을...잘모르겠습니다.
      plane wave를 가정 하고 파수벡터 k를 이용해 계산하는건 알겠는데, (4)이용,
      그 과정을 따르는 벡터 표시들을 무엇이며 어떻게 유도된 것인지 설명해 주실수 있나요?
      다시 말해 계산이 이해가 안갑니다....

      vector_E = vector_k X vector_H / (-we) 아닌가요? 어디서 hat_k? hat_E가 나오나요?

      감사합니다.

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    5. 상수항을 잘 대입하면 됩니다. 본문에 내용 약간 추가했어요.

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    6. 감사합니다 잘 정리 되네요!!

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