2010년 7월 19일 월요일

좌표계 기반 벡터(vector)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "좌표계 기반 벡터"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[벡터와 스칼라(vector and scalar)]

[위치 벡터(position vector)]

[그림 1] 벡터의 구성(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 평면을 뚫는 벡터 표현(출처: wikipedia.org)

크기와 방향을 표현하기 위해 사용하는 벡터(vector)는 크기만을 표현하는 스칼라(scalar)와 구별된다. 벡터의 어원은 '운반하다'를 뜻하는 라틴어(Latin) 'vehere'이다. 스칼라의 어원도 '계단'이나 '저울'을 뜻하는 라틴어 'scala'이다. 어원을 보더라도 스칼라는 무언가를 재는 양(크기)을 뜻하고 벡터는 운동과 관계된 움직임(방향성)을 뜻한다.
그러면 벡터에서 방향은 어떻게 표현하는가?
[그림 1]은 벡터를 이용한 크기와 방향 표현방법을 제시한다. 벡터를 표현한 화살표의 길이가 크기를 나타내며 방향을 표시하기 위해 화살표를 사용한다. [그림 2]는 화살을 염두에 두고 평면을 뚫는 벡터를 표현한 것이다. 화살이 평면에 들어가면 화살의 끝이 보이므로 [그림 2]의 왼편처럼 X 표시하고 화살이 평면을 뚫고나오면 화살의 침이 보이므로 ⊙ 표시로 표현한다.
3차원 공간에서 벡터를 표현하려면 사원수(四元數, quaternion)를 사용할 수 있지만 매우 복잡하므로 전자파를 포함한 물리학 분야에서는 좌표계 기반 벡터를 사용한다.
일부 컴퓨터 그래픽스(computer graphics)를 하는 사람들은 사원수가 분명 필요하다고 주장한다. 하지만, 컴퓨터 그래픽스에 사용하는 수학보다 더욱 어려운 전자파 이론을 연구하는 사람들도 더이상 사원수를 쓰지 않는다. 물론 1864년 맥스웰(James Clerk Maxwell)의 전자파 방정식(電磁波方程式, electromagnetic wave equation)이 나올 때는 이론이 사원수로 전개되어 있었지만 1901년(1800년 후반에 개발)(기브스 62세, 조선 고종 시절) 기브스(Josiah Willard Gibbs)의 좌표계 기반 벡터 이론이 나오면서 서서히 사원수 이론은 사라져갔다.

좌표계 기반 벡터 표현은 어떻게 하는 것인가? [그림 3]은 이 표현법을 설명한다.

[그림 3] 좌표계 기반 벡터 표현(출처: wikipedia.org)

좌표계를 이용하여 벡터를 표현하려면 [그림 3]과 같이 좌표공간상에 있는 $(x, y, z)$에 점을 찍고 원점 $(0, 0, 0)$에서 $(x, y, z)$로 화살표를 그리면 된다. 이런 벡터를 위치 벡터(position vector) $\bar P = (x, y, z)$라고 한다. 위치 벡터는 무척 쉽다. 이 점이 사원수를 대신한 좌표계 기반 벡터 표현법의 장점이다. 수학적으로 살펴보면 사원수 기반 벡터를 간략히 표현한 것이 좌표계 기반 벡터이다. 사원수 표현에 사용되는 $i, j, k$ 허수 상수들을 [그림 3]과 같이 단위 벡터(unit vector) $\hat x, \hat y, \hat z$로 표현하면 식 (1)과 같다.

                         (1)

여기서 단위 벡터는 크기가 1인 벡터이다. 그러면 사원수와 유사하게 벡터에 대한 연산을 정의할 수 있다.

1. 실수배
                         (2)

2. 덧셈
              (3)

[벡터의 덧셈(addition of vectors)]

3. 뺄셈

              (4)

[벡터의 뺄셈(subtraction of vectors)]

곱셈은 정의가 다소 복잡하다. 식 (5)가 나타내는 사원수의 곱셈이 복잡하기 때문에 벡터의 곱셈도 어렵게 정의한다. 벡터 해석학 초보자들은 사원수를 잘 모르기 때문에 벡터의 곱셈을 제대로 이해하지 못한다.

                              (5)

사원수의 곱셈 결과는 실수와 $i, j, k$ 허수로 나타나기 때문에 벡터의 곱셈은 두 가지로 정한다. 바로 내적(內積, inner product or dot product)과 외적(外積, outer product or cross product)이다. 벡터 곱셈을 공부할 때, 내적은 쉽게 상상되지만 외적은 조금 모호하게 다가온다. 이는 외적 개념 자체가 어렵기 때문이다. 수학사를 보더라도 외적은 사원수로부터 그냥 정의된 것이 아니고, 여러 천재들이 힘겹게 기여한 것이다. 벡터 외적은 사원수와는 독립적으로 독일 고등학교 교사였던 그라스만(Hermann Grassmann)이 1844년(그라스만 35세, 조선 헌종 시절)에 제안한 탁월한 개념이다. 무명의 그라스만이 만든 외적 개념은 수학자 클리퍼드(William Kingdon Clifford)에 의해 1878년(클리퍼드 33세, 조선 고종 시절)에 재발견되었다. 클리퍼드는 그라스만의 외적을 사원수로 설명해서 둘 사이의 연관 관계를 정확히 확립했다. 이후 기브스(Josiah Willard Gibbs) 교수가 사원수를 대신할 목적으로 머리 나쁜 예일 대학생을 위해 개발한 쉬운 개념이 좌표계 기반 벡터이다. 이게 흔히 말하는 벡터이다. (이런 쉬운 개념의 발명에는 기브스의 경력도 크게 작용했다. 기브스는 미국 최초의 공학 박사이다.)
사원수 곱셈의 실수부를 고려해서 벡터의 내적을 식 (6)으로 정의한다.

                              (6)

$a_1 = a_2 = 0$이면 식 (5)의 실수부와 식 (6)은 부호차이를 제외하고는 동일하다.
사원수 곱셈의 허수부를 고려하면 벡터 외적을 식 (7)처럼 정의한다.

        (7)

행렬식(行列式, determinant)을 사용하면 식 (7)을 좀더 예쁘게 표현할 수 있다.

                              (8)

식 (6)의 정의로 인해 벡터 내적은 아래와 같은 산술 체계를 가진다.

                              (9)

벡터 외적의 산술 체계는 식 (7)을 바탕으로 얻어진다.

                              (10)

벡터 외적의 특성 중에서 흥미로운 것은 결합 법칙이 성립하지 않는 것이다. 사원수는 결합 법칙이 성립했으나 사원수 곱셈을 실수부와 허수부로 분해해서 이를 각각 내적과 외적이라 정의했기 때문에 벡터 외적은 더이상 결합 법칙이 성립하지 않는다. 이 때문에 실제 문제를 풀 때 굉장히 주의해야 한다. 결합 법칙이 성립하지 않는 예는 식 (11)에 제시되어 있다.

              (11)

[벡터의 곱셈(product of vectors)]

[그림 4]를 통해 벡터 내적의 기하학적 의미를 살펴보자.

[그림 4] 벡터 내적의 기하학적 의미(출처: wikipedia.org)

[그림 4]를 보면 두 벡터의 길이를 서로 곱한 값이 내적이다. 다만, 곱할 때 방향을 고려해서 서로 일직선을 이루는 방향의 길이를 곱한 것이다.
식 (6)의 결과를 고려하면 벡터 내적은 임의 차원으로 확장될 수 있다.
일반적인 $N$차원 공간에서 벡터 내적의 기하학적 의미를 유도하자.

                   (12)

식 (12)와 같은 내적이 정의되었으므로 벡터의 크기는 식 (13)으로 정의할 수 있다.

                              (13)

다음으로 식 (4)와 (13)으로부터 벡터 뺄셈의 크기를 고려하자.

                              (14)

$N$차원 벡터의 크기를 고려한 것이 식 (14)이다. 이때 벡터 뺄셈을 한 결과는 기하학적으로 식 (4) 혹은 [그림 4]와 같은 삼각형을 이루므로 식 (15)의 코사인 제2법칙(law of cosines)을 적용한다.

                              (15)

식 (14)와 (15)를 비교하면 잘 알려진 벡터 내적 공식을 유도할 수 있다.

                              (16)

식 (16)을 보면 벡터 $\bar a$와 $\bar b$가 서로 직교하면 $\theta = 90^\circ$가 되므로 벡터 내적은 항상 0이 된다.
벡터 내적에도 주의할 부분이 하나있다. 식 (16)의 우변은 항상 실수이므로 벡터의 성분(component)이 실수가 아닌 복소수(complex number)이면 식 (16)과 [그림 4]의 기하학적 의미는 더이상 성립하지 않는다. 즉, 벡터의 성분이 복소수이면 식 (16)이 아닌 식 (12)로만 벡터 내적을 정의해야 한다. 물론 복소수로 확장하려면 다음처럼 켤레 복소수를 이용해 정의해야 한다: $\bar a \cdot \bar b = \sum_{n=1}^{N} a_n b_n^*$. 내적 연산이 일반화된 것을 강조할 때는 $\bar a \cdot \bar b$ 대신 보통 $<\bar a, \bar b>$를 사용한다.
[그림 5] 벡터 외적의 기하학적 의미(출처: wikipedia.org)
[그림 6] 벡터 외적의 단위 벡터 결정 방법: 오른손 법칙(출처: wikipedia.org)

[그림 5]는 벡터 외적의 기하학적 의미를 보여준다. 즉 벡터 외적은 [그림 5]와 같이 벡터 $\bar a, \bar b$가 이루는 평행사변형의 면적(스칼라)과 외적의 단위 벡터 방향(벡터)을 곱해서 표현한다. 수학에서는 기준 방향을 [그림 6]과 같은 오른손 법칙으로 정하므로 벡터 외적도 [그림 6]으로 정한다.
식 (8)이 나타내는 수식이 평행사변형의 면적이라는 것은 금방 와닿지는 않는다. 증명은 식 (17)에 있다.

                (17)

여기서 벡터 $\bar a = (x_1, y_1, z_1)$, 벡터 $\bar b = (x_2, y_2, z_2)$이다. 벡터 외적 방향을 오른손 법칙으로 정한 것은 $x, y, z$ 좌표축을 식 (18)로 정한 것과 동일한 의미를 가진다.

                              (18)

또한, 식 (19)에 의해 벡터 $\bar a, \bar b$와 벡터 외적 $\bar a \times \bar b$의 내적이 0이므로 식 (16) 결과에 따라 이 벡터들은 [그림 5]와 같이 서로 수직이다.

                              (19)

식 (19)의 증명은 식 (8)에 벡터 $\bar a$와 벡터 $\bar b$를 대입하면 가능하다.
따라서, 벡터 외적은 식 (20)으로 표현할 수 있다.

                              (20)

식 (8)과 (10)에 정의한 벡터 외적은 결합 법칙이 성립하지 않는다고 했다. 하지만, 결합 법칙이 성립하는 경우도 있지 않을까? 식 (21)에 있는 벡터 삼중적(三重積, vector triple product)을 이용하여 벡터 외적의 결합 법칙 성립 조건을 찾자.

                              (21)

식 (21)의 증명은 식 (8)의 벡터 외적 정의에 벡터 $\bar A, \bar B, \bar C$를 대입하면 된다. 혹은 벡터 외적($\times$)의 특성을 이용하면 식 (21)의 의미를 정성적으로 이해할 수 있다[1]. 예를 들면 어떤 벡터 $\bar A$에 대한 외적값에는 $\bar A$가 포함되면 안된다는 성질을 이용하는 것이다. (∵ 벡터 외적은 $\bar A$에 대해 수직한 성분만 뽑기 때문에) 그러면 식 (21)의 결과값에는 $\bar A$, $\bar B \times \bar C$가 아닌 성분이 포함되어야 한다. $\bar B \times \bar C$가 아닌 성분은 $\bar B$, $\bar C$이므로 식 (21)의 결과는 선형 결합인 $b \bar B + c \bar C$로 표현될 수 있을 것이다. 식 (21)의 좌변에 벡터 $\bar A$의 내적을 취하면 0이 되어야 하므로 $0 = b \bar A \cdot \bar B + c \bar A \cdot \bar C$이 된다. 이 결과를 보면 $b, c$가 가져야 하는 비율은 식 (21)의 우변과 같은 것을 알 수 있다. (하지만 이것은 정성적인 설명이므로 정확한 증명으로는 2%가 부족하다.)
다음으로 결합 법칙이 성립하려면 식 (21)과 (22)가 서로 같아야 한다.

                              (22)

식 (21)과 (22)가 같다고 두면 식 (23)이 반드시 성립해야 한다.

                              (23)

식 (23)이 성립하는 경우는 두 가지이다. 벡터 내적이 0인 경우와 아닌 경우이다.
식 (23)의 벡터 내적이 0이면 벡터 $\bar A$와 $\bar C$가 벡터 $\bar B$에 수직하면 된다.
벡터 내적이 0이 아니라면 벡터 $\bar A$와 벡터 $\bar C$의 방향이 일직선이면 된다.
식 (21)에 있는 벡터 삼중적과 유사한 식은 스칼라 삼중적(scalar triple product)이다.

                              (24)


[그림 7] 벡터 a, b, c가 만든 평행육면체(출처: wikipedia.org)

[그림 7]은 벡터 $\bar a, \bar b, \bar c$가 만든 평행육면체(平行六面體, parallelepiped)를 보여준다. 이 평행육면체가 만드는 부피가 식 (24)가 표현하는 기하학적 의미이다.
식 (24)가 평행육면체의 부피라는 결과는 행렬식(行列式, determinant) 관점에서 식 (6)과 (8)을 결합하면 얻을 수 있다.

                              (25)

여기서 벡터 $\bar a = (x_1, y_1, z_1)$, 벡터 $\bar b = (x_2, y_2, z_2)$, 벡터 $\bar c = (x_3, y_3, z_3)$.
그런데 식 (25)가 부피를 나타내는 식이라는 것은 한눈에 보이지는 않는다.
부피는 아래 면적 $\times$ 높이이므로 벡터 $\bar b$와 $\bar c$의 벡터 외적은 식 (20)과 [그림 7]에 의해 아래 면적을 형성하고 아래 면적과 수직인 방향으로 식 (16)과 [그림 4]에 정의한 벡터 내적을 취했으므로 아래 면적에 높이를 곱한 결과를 낸다. 즉, 식 (25)는 평행육면체의 부피가 된다.
$n \times n$ 행렬(行列, matrix)의 관점에서 보면 행렬식의 기하학적 의는 $n$차원의 방향을 가진 부피이다. 식 (25)는 $3 \times 3$ 행렬의 행렬식이므로 3차원의 부피를 나타내게 되어 당연히 평행육면체의 부피가 된다.
식 (8)과 같은 $2 \times 2$ 행렬인 경우, 행렬식은 2차원 부피, 즉 면적을 표현한다.
[그림 8] 3차원 공간상의 평면(출처: wikipedia.org)

지금까지 벡터 $\bar a$와 $\bar b$의 선형결합 벡터인 $k_1 \bar a + k_2 \bar b$는 [그림 8]처럼 원점($\bar p_0 = 0$), 벡터 $\bar a$(= $\bar p_1 - \bar p_0$)와 벡터 $\bar b$(= $\bar p_2 - \bar p_0$)가 만드는 평면(平面, plane)에 있다고 가정했다. 이 가정이 맞는가?
평면의 방정식은 식 (26)으로 표현할 수 있다.

                              (26)

여기서 벡터 $\bar p_0 = (0, 0, 0)$이며 벡터 $\bar r = (x, y, z)$는 평면상에 있는 모든 점을 표현한다. 식 (26)에서 벡터 $\bar r$ 대신에 벡터 $k_1 \bar a + k_2 \bar b$를 대입하면 식 (19)에 의해 식 (26)을 만족하므로 선형결합 벡터는 항상 동일 평면에 있는 것을 알 수 있다.

        (27)

항등식(恒等式, identity)에 대한 내적과 외적 특성을 알아보자. 임의의 벡터 $\bar A$와 어떤 벡터 $\bar B$의 내적이 항상 0이면 벡터 $\bar B$는 반드시 영벡터(0)가 되어야 한다.

                              (28)

이것은 어떻게 증명할까? 식 (16)을 이용하면 쉽게 증명이 된다. 벡터 $\bar A$가 임의이면 벡터 $\bar A$의 크기와 벡터 $\bar B$와의 끼인 각인 $\theta$가 고정이 아니고 가변이므로 전체 내적값이 0이기 위해서는 벡터 $\bar B$의 크기가 0이어야 한다. 즉, 벡터 $\bar B$가 영벡터가 되어야 한다. 벡터 내적은 임의의 $n$차원에 대해서도 정의할 수 있으므로 식 (29)와 같은 일반적인 항등식 조건도 식 (16)을 이용해서 쉽게 유도할 수 있다.

              (29)

벡터 외적에 대해서도 식 (30)이 성립한다.

                              (30)

식 (30) 증명에는 식 (20)을 이용한다. 최종 결과가 0이므로 벡터 $\bar B$의 크기는 반드시 0이어야 한다.

[참고문헌]
[1] 신상진, 2. Vector analysis 2, 수리물리학, HanyangUniversity.

[다음 읽을거리]
1. 구배의 의미
2. 발산의 의미
3. 회전의 의미
4. 벡터 항등식
5. 행렬
6. 행렬식
7. 행렬식의 기하학적 의미
8. 텐서
9. 텐서와 좌표변환

댓글 25개 :

  1. 블로그에서 많이 배우고 갑니다

    본문 중에 컴퓨터 그래픽스에서 사원수를 고집하는 것에 대해서 나오는데.. 그래픽 쪽에서는 사원수를 쓰는게 회전 보간이 편리해서 그렇다고 들은 거 같습니다. ^^

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  2. 그럴 수는 있다고 봅니다. 하지만, 회전 보간만을 위해서 복잡한 사원수를 쓸 필요가 있을까요! 사원수 연산은 동일한 행렬 연산으로 어렵지 않게 변환할 수 있습니다.

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  3. 5배정도 빠르다고 알고 있습니다.

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  4. 제 의도는 사원수와 좌표계 벡터 회전은 수학적으로 등가라는 것입니다. 기계적으로 적용하면 대수기반의 사원수가 회전행렬 기반의 벡터보다 빠를 것입니다. 하지만 코드를 짤 때 기계적으로 회전행렬을 적용할 리는 없고 메모리와 속도에 대해 최적화(필요없는 메모리 할당하지 않기, 행렬을 대수적으로 풀어서 쓰기 등)를 하기 때문에 큰 차이는 없을 것입니다.

    오래된 논쟁이기는 하지만 아래 자료도 참고해보세요.
    Do We Really Need Quaternions?
    http://www.gamedev.net/page/resources/_/technical/math-and-physics/do-we-really-need-quaternions-r1199

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  5. 대충 읽어보고, 수학적인 증명에 너무 치충하지 않나 하엿지만, 세세히 읽어보니, 모두다 의미가 있네요. 오히려 저같이 이해를 해야 암기가 되는 사람에게는 정말 유요한 정보들이네요. ^^

    Scalar와 vector Product에서 꼭 2가지를 알고 싶었는데,
    1. 물리적의미
    2. SIN COS 인자가 어떻게 해서 들어가게 됬는지.
    모두 설명이 되어 있네요.

    간혹 이해가 안가는 부분은 여러번 읽어보고, 생각하니 대부분 이해가 가기 시작하네요.
    볼때마다, 아! 라는 감탄사와 희열을 느끼게 해주시네요.
    환경을 탓하지 않게 해주시네요.
    열정만 있으면, 공부 할 수 있게 해주시니, 어떻게 감사의 마음을 전해야 할지 모르겠습니다.
    언젠가 기회가 된다면, 꼭 저렴한 술에 저렴한 안주를 대접을 하고 싶습니다.

    다시 한번 감사드립니다.

    익명: 곰유 올림

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    1. 곰유님도 더 열심히 공부하셔서 좋은 글들 많이 남겨주세요. ^^

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  6. 구배 발산 회전의 물리적 의미는 아직 모르겠으나,
    여기 좌표계 기반 vector을 1주 정도 공부를 하니,
    3개의 식이 다르게 보이기 시작하네요.
    (예전에는 다 똑같이 보였습니다. ㅋㅋㅋ T.T)
    구배(단위vector화)
    발산(scalar product)
    회전(vector product)

    감사드립니다.

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    1. 익명님, 지금처럼 계속 고민하고 생각하세요.
      어차피 벡터라는 것은 물리학적 필요 때문에 나온 것이라 구배, 발산, 회전도 물리적 그림을 그리면서 공부해야 좋습니다. ^^

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  7. 위 대부분의 내용은 기하학적 의미로 보면 잘 이해가 되었는데요.
    ( 잘 이라는 의미가 좀 거시기 한게 몇일씩 걸렸습니다. )
    스칼라 3중적은 주말내내 기본적인 삼각함수 COS(pi/2- alpha) = SIN (alpha)이걸 몰라서 해맸습니다. 높이 h가 되는 조건을 역으로 해보니 쉽게 풀리더라구요.
    ㅋㅋ 이제 부피라는 것을 이해를 했는데요.

    T.T
    그런데 식21 식22 벡터삼중적에 관한 내용은 행렬을 좀 알아야 할 수 있는내용인가요?
    벡터 항등식에서는 좌표계에서 좌우를 비교를 하면, 쉽게 증명이 된다고 하시는데.
    벡터 삼중적을 기학학으로 설명해 놓은 자료는 없으신가요?
    좀 찾아보긴 하였지만, 잘 모르는 행렬로 모두 설명이 되어 있더라구요.

    기초적이 질문은 너무 수식 자체를 몰라서 드리는 질문인데요.
    식 21로 예를 들면,
    B¯(A¯.C¯) 이거 자체가 먼지 몰라서인데요.
    A와 C의 scalar produtct후에 이는 scalar 양이 되니, 이를 상수 취급하여,
    B vector에 곱한다는 의미가 되는건가요?

    익명: 곰유올림

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    1. 저도 벡터 삼중적의 기하학적 의미를 찾고 있습니다. 좋은 결과 있으면 소개해주세요.
      - 식 (21)만 보면 벡터 삼중적 결과는 B와 C가 이루는 평면에 있습니다.

      상대적으로 스칼라 삼중적은 쉽습니다. 부피 정의식이니까요.

      $\bar B (\bar A \cdot \bar C)$는 말씀하신 설명이 맞습니다. 내적하면 스칼라가 되어 상수 취급하면 됩니다.

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    2. 감사드립니다.

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  8. 안녕하세요?
    윗분이 말씀하신 벡터 삼중적의 기하학적 의미인지는 잘 모르겠습니다만 직관적으로 잘 설명 되어있는 곳이 있더라고요
    사실 전파거북이님이 예전에 올리셨던 한양대학교 Open Course Ware가 저에게는 많은 도움이 되고 있습니다. 거기 수리물리학 1에 2. Vector Analysis 2에 들어가셔서 1:00:00쯤에 보시면 벡터삼중적에서 A×(B×C)=γ(B(A·C)-C(B·A))가 되는 이유까지 쉽게 설명이 되어 있더라고요.
    도움이 되셨으면 합니다.

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    답글
    1. 주소는
      http://www.youtube.com/watch?v=6A9bBWCCuoA&list=PLF2319B301C23A64D 입니다

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    2. 신상진 교수님이 깔끔하게 설명을 잘 하시네요. 공유 감사합니다, 정대영님. ^^

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    3. 어우 감사합니다.
      ----
      곰유

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  9. 컴파일러가 내부적인 최적화를 수행하지 못할 경우도 존재합니다. 예로 dynamic casting이 일어나는 코드들은 최적화 되지 않을 가능성이 높기 때문입니다. 왜냐하면 run time에 메모리에 할당될 주소가 결정되기 때문이죠. 단 모든 할당값이 static casting이 가능한 구조라면 컴파일러는 완벽한 최적화를 할 수 있습니다. 지금도 runtime 할당은 Inter-Procedure Data Flow Analysis에서 이슈가되는 부분들입니다. Profiler라는 툴이 나온 이유이기도 하구요

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    1. 좋은 댓글 감사합니다, 익명님. ^^

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  10. 벡터 내적과 외적을 왜 식 (6) (7)과 같이 정의했을까요? 기하학적 의미로 부터 정의되었나요?

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    답글
    1. 아래 사원수 개념부터 보세요. 넓게 보면 기하학적 정의이기 하지만, 정확히는 사원수 때문에 식 (6), (7)처럼 기술합니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/quarternion.html

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  11. 안녕하세요. 항상 블로그 글에 많은 신세를 지고 있는 공대생입니다. 먼저 제가 이해한 것이 맞다면 간단한 오타가 있는 것 같아 말씀드립니다.
    "식 (16)의 우변은 항상 실수이므로 벡터의 성분(component)이 실수가 아닌 복소수(complex number)이면 식 (16)과 [그림 5]의 기하학적 의미는 더이상 성립하지 않는다." 부분에서 그림 5 를 그림 4로 정정해야할 것 같습니다.

    위에 문장에서 공부하다 명쾌하지 않은 부분이 있어 질문드립니다. 처음 시작은 기하학적 의미가 성립하지 않는다는 것에서부터였습니다. 식 (16)에 의해 너무 결과는 당연하긴 했는데, 복소수 벡터 공간 역시도 결국엔 같은 기하학적 의미가 있을 것 같았는데 성립을 하지 않는다고 하니 잘 와닿지가 않았습니다. 그래서 복소수 벡터공간에서도 성립한다는 식 (12)를 보면서 생각을 해보려했는데요 마찬가지로 식 (12) 역시 복소수 벡터공간에서는 단순 곱이 아닌 conjugate 값과의 곱이 되야하지 않는가하는 생각이 들었습니다. 혹시 이 부분도 수정이 필요한 것은 아닌지요?
    사원수를 공부하고 여기로 넘어왔는데 그렇다면 사원수로부터 정의된 벡터 내적은 a+bi+cj+dk로부터 시작했는데 복소수 값을 가지는 벡터라 하려면 a,b,c,d 값이 복소수여야한다고 생각이 들었고 뭔가 명쾌하지 않고 생각이 꼬이기 시작했습니다.
    복소수 벡터 공간에서의 내적을 위와 같이 생각하는 것이 맞는지요? 앞서 사원수에서의 a,b,c,d는 실수로 실수 벡터 공간에서 정의가 된 것으로 생각하면 되는지 여쭙니다. 일견에는 복소수 벡터 공간 역시도 하나의 공간이므로 기하학적으로 관계가 성립해야할 것 같았는데 안되는 것(식16)이 명확하니 이상합니다.
    음...머리가 정리가 안되어 질문을 하기도 어려운 상황인데 하나씩 문답을 하다보면 정리가 되지 않을까해서 일단 글을 적어보았습니다.

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    1. 1. 지적 정말 감사합니다, JaeJun님. ^^ 문장을 다시 정리했습니다.

      2. 좌표계 기반 벡터는 기본적으로 기하 특성을 표현하기 위해 실수를 사용합니다. 실수 대신 복소수나 사원수를 쓰려면 거기에 합당한 의미가 있어야 합니다. 예를 들어 전자기장을 복소수 성분을 가진 벡터로 표현하면, 장에 페이저(phasor)를 도입했다는 뜻입니다.

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  12. 식 (22)가 (21)로 잘못 적혀 있는것 같아요!

    안녕하세요, 지난학기에 공부할 때 어설프게 공학수학 2를 공부하면서 도움을 받았던 기억이 나서 이번학기 전자장을 들으면서 다시 도움을 받으려고 돌아왔습니다. 벡터 항등식을 이해하려다가 어쩌다보니 발산과 회전을 읽고 지금 벡터도 읽으면서 얼마나 공부를 허술하게 했고 기초가 안 다져져 있었나를 깨닫게 되네요. 이번학기도 계속해서 공부하다 갈 것 같습니다. 좋은 글 감사합니다.

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    1. kaestro님, 오타 지적 정말 감사합니다. ^^

      앞으로도 자주 오시고, 여러 지적도 부탁드립니다.

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  13. 예일대생이 머리가 나쁘면 나같은 일반인은 대체... ㅜㅜ

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    1. 당시 자연 과학과 공학은 유럽이 주도했고, 미국은 변방에 가까웠습니다. 하지만 기브스 같은 고독한 천재가 미국의 자존심을 세워줬지요. ^^

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