2024년 2월 24일 토요일

구면 한켈 변환(Spherical Hankel Transform)

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파동 방정식을 구 좌표계에서 표현하면, 모든 파동 함수 $f(r, \theta, \phi)$를 구면 조화 함수(spherical harmonics) $Y_n^m (\theta, \phi)$를 포함한 급수로 전개할 수 있다.

                          (1)

여기서 $f_{nm}(r)$은 파동 함수의 진행 방향 복사 특성을 뜻한다. 식 (1)에 구면 조화 함수의 직교성(orthogonality of spherical harmonics)을 적용해서 $f_{nm}(r)$을 $f(r, \theta, \phi)$로도 공식화한다.

                          (2)

구 좌표계의 급수 전개인 식 (1)을 더욱 확장해서 원통 좌표계의 한켈 변환(Hankel transform)에 대응하는 구 좌표계의 구면 한켈 변환(spherical Hankel transform)을 새롭게 정의한다[1]. 다른 적분 변환처럼 구면 한켈 변환의 시작점도 푸리에 변환(Fourier transform)이다. 3차원 푸리에 변환을 구 좌표계의 푸리에 변환으로 바꾼다.

                          (3)

여기서 $f(r, \theta, \phi)$ = $g(x, y, z)$이다. 식 (3)에 나온 $\cos \gamma$는 구면 조화 함수의 덧셈 정리(addition theorem)와 관계된다.

                  (4)

여기서 $x$ = $r \sin \theta \cos \phi$, $y$ = $r \sin \theta \sin \phi$, $z$ = $r \cos \theta$, $\xi$ = $\kappa \sin \theta' \cos \phi'$, $\eta$ = $\kappa \sin \theta' \sin \phi'$, $\zeta$ = $\kappa \cos \theta'$, $\Theta$ = $\theta'$, $\Phi$ = $\phi'$이다. 식 (3)에 식 (1)과 레일리 전개(Rayleigh expansion) 결과를 넣고 구면 조화 함수의 직교성을 사용한다.

                  (5a)

                  (5b)

                          (5c)

여기서 $j_n(\cdot)$는 제1종 구면 베셀 함수(spherical Bessel function of the first kind), $F_{nm}(\kappa)$는 $f_{nm}(r)$의 구면 한켈 변환이다. 식 (5c)에 정의한 구면 한켈 변환의 역변환은 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)으로 구한다.

                  (6a)

구면 한켈 변환의 유도와 비슷하게 식 (6a)에 식 (5b)를 넣고 간략화한다.

                  (6b)

식 (6b)와 식 (1)을 비교해서 구면 한켈 역변환(inverse spherical Hankel transform)을 확정한다.

                          (6c)

구면 한켈 변환은 $\theta, \phi$ 대신 $r$방향 변화를 집중해서 추적할 때에 매우 유용하다.

[참고문헌]
[1] G. Gonzalez, Advanced Electromagnetic Wave Propagation Methods, New York, USA: CRC Press, 2021.

2024년 2월 4일 일요일

클레로의 미분 방정식(Clairaut's Differential Equation)

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클레로의 미분 방정식(Clairaut's differential equation)은 미분 대수 방정식(微分代數方程式, differential algebraic equation) $F(dy/dx, y, x)$ = $0$을 변형해서 $y$를 기준으로 정리한 미분 방정식이다.

                        (1)

여기서 $p$ = $dy/dx$이다. 식 (1)로 정의한 미분 방정식의 최초 제안자는 클레로Alexis Clairaut(1713–1765)이다. 1734년클레로 30세, 조선 영조 시절에 클레로는 직선의 포락선(包絡線, envelope)을 연구하는 과정에서 이 방정식을 발견했다. 추가적으로 미분 대수 방정식을 $dy/dx$에 대해 정리한 $dy/dx$ = $f(x, y)$는 잘 알려진 1계 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation)이다.
첫눈에 어려워 보이는 클레로의 미분 방정식의 해는 의외로 간단하다. 식 (1)을 $x$에 대해 미분만 하면 답이 얻어진다.

                        (2)

여기서 $f'(p)$ = $df(p)/dp$이다. 만약 $dp/dx$ = $0$이라면, $p$ = $k$가 되며 식 (1)에 $p$ 대신 상수 $k$를 넣어서 1차 함수를 만든다.

                          (3)

여기서 $k$는 기울기, $y$절편[$x$ = $0$에서 $y$값]은 $f(k)$이다. 기울기 $k$는 어떤 값이든 될 수 있어서 식 (1)은 이 미분 방정식의 일반해(general solution)라 부른다. 식 (2)가 표현하는 또 다른 해도 있다.

                        (4a)

주어진 $p$에 대해 점 $(x, y)$가 하나로 결정되므로, 기울기 매개변수 $t$를 도입해 궤적을 그리면 새로운 곡선이 된다.

                          (4b)

식 (4b)는 식 (3)을 만족하고 $(x, y)$에서 기울기는 $t$ = $k$이다. 따라서 식 (3)은 식 (4b)의 접선이며, 식 (4b)는 접선 방정식인 식 (3)의 윤곽을 나타내는 포락선이다. 이런 접선과 포락선의 관계를 생성하는 해는 특이해(singular solution)가 된다. 그래서 $x$ = $-f'(p)$는 이 미분 방정식의 특이해이다.

[그림 1] $f(p)$ = $p^2$인 클레로의 미분 방정식에 대한 여러 해(출처: wikipedia.org)

[그림 1]은 식 (1)에서 $f(p)$ = $p^2$을 만족하는 모든 해를 가시적으로 보여준다. 함수 $f(p)$는 직선인 일반해의 $y$절편이므로, [그림 1]에 나온 직선의 $y$절편은 항상 0보다 크거나 같다. 이 직선이 모두 모여서 만드는 파란색 곡선은 직선의 포락선이며 식 (4b)로 그린다. 클레로의 미분 방정식에서 나온 특이해는 기하 광학(geometrical optics)의 맹점인 소작 곡선(燒灼曲線, caustic curve)에 해당한다. 즉, 높은 주파수에서 빛의 반사와 굴절을 다루는 기하 광학에서 광선(ray)은 일반해인 직선이며, 이 광선이 모여 집중되면서 문제를 일으키는 소작 곡선은 특이해로 볼 수 있다.

[다음 읽을거리]

2024년 2월 3일 토요일

베르누이 미분 방정식(Bernoulli Differential Equation)

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1계(階) 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation, the first order ODE) 중에서 해법이 알려진 드문 경우가 베르누이 미분 방정식(Bernoulli differential equation)이다. 미적분학 초기 개척자인 야곱 베르누이Jacob Bernoulli(1655–1705)가 1695년베르누이 40세, 조선 숙종 시절에 발견한 베르누이 미분 방정식은 내부에 $y^n$이란 비선형성이 있더라도 정확하게 풀린다.

                          (1)

여기서 $n \ne 0$ 및 $n \ne 1$이다. 만약 $n$ = $0$이나 $1$이 되면, 표준 해법이 있는 통상적인 1계 선형 상미분 방정식(the first order linear ODE)에 속해서 굳이 베르누이 미분 방정식 범주에 넣지 않는다. 식 (1)에 정의한 베르누이 미분 방정식을 기준으로 다양한 변형을 가해서 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)이나 로지스틱 혹은 산법 미분 방정식(logistic differential equation) 등에 이를 수 있다.
식 (1)을 풀기 위해 먼저 $u$ = $y^{1-n}$으로 변수 치환하고 미분을 $du$ = $(1-n)y^{-n}dy$, $dy$ = $y^n \mathbin{/}(1-u) \cdot du$로 바꾼다. 그러면 식 (1)은 $u$에 대한 1계 선형 상미분 방정식으로 변형되어서 답을 정확히 구할 수 있다.

                  (2)

식 (2)를 다시 $y$로 기술하면, $y(x)$ = $u^{1 /(1-n)}$ = $1 \mathbin{/} \sqrt[n-1]{u(x)}$를 얻는다.


   1. 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)   

리카티Jacopo Riccati(1676–1754)가 1724년리카티 48세, 조선 영조 시절에 제안한 리카티 미분 방정식은 $n$ = $2$인 베르누이 미분 방정식에 비동차 항 $q_0(x)$[$q_0(x) \ne 0$]을 추가한 형태이다. 리카티는 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)로도 유명하다.

                          (1.1)

비동차 항 $q_0 (x)$의 추가는 미미해보여 $u$ = $1/y$로 치환해서 식 (2)처럼 해결할 수 있을 것 같다. 하지만 $q_0 (x)$로 인해 식 (2)로 변형할 수 없어서, 리카티의 제안대로 $u$ = $q_2 y$, $u$ = $- v' / v$로 변수를 교체해야 한다.

                          (1.2a)

여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분, $du/dx$ = $u'$ = $q_2' y + q_2 y'$이다. 변수 치환 $u$ = $- v' / v$로 인해 $du/dx$는 복잡하게 나오지만 새로운 $u^2$ 항이 출현해 미분 방정식이 자연스럽게 풀린다.

                          (1.2b)

식 (1.2b)는 2계 선형 상미분 방정식이라서 해 $v(x)$는 존재하며 유일하다. 이후에 $y(x)$ = $- v' \mathbin{/} (q_2 v)$로 해를 확정한다.


   2. 로지스틱 미분 방정식(logistic differential equation)   

로지스틱 혹은 산법(算法) 미분 방정식은 $n$ = $2$이며 상수 계수를 가진 베르누이 미분 방정식이다.

                          (2.1)

여기서 $r$은 성장 비율(growth ratio), $k$는 운반 용량(carrying capacity)이다. 운반 용량 $k$가 매우 큰 경우, $r > 0$이면 $y$는 증가, $r < 0$ 조건에서는 $y$가 감소한다. 운반 용량 $k$가 크지 않으면, $r, k$ 및 초기값에 따라 결과는 수렴, 발산, 진동할 수 있다. 로지스틱은 풍부한 함의를 가진 고대 그리스어인 로고스(λόγος, 말씀, 사유, 비례)가 어원이다. 로고스에서 파생된 말인 논리(logic)와 비슷하게 로지스틱은 계산법 혹은 사유법을 의미해서 보통 산법으로 번역한다. 다만 병참(logistics)은 로지스틱과 단어가 거의 같지만 어원은 로고스가 아니고 예전 프랑스어인 로게(loge, 막사)에서 유래한다. 식 (2.1)의 미분 방정식에 붙인 로지스틱 혹은 산법은 지수가 나오는 로그 함수(logarithm)와 다르게 결과가 산술적으로 증가한다는 뜻이다. 즉, 로그 함수가 만드는 지수 함수는 지수적으로 매우 빠르게 커지지만 로지스틱 함수(logistic function)는 산술적으로 천천히 늘어난다. 이때 로지스틱 함수는 식 (2.1)의 해를 나타낸다. 로지스틱 함수란 용어는 페르휠스트Pierre François Verhulst(1804–1849)에 의해 1838년페르휠스트 34세, 조선 헌종 시절에 처음 제안되었다.
로지스틱 함수는 주로 시간에 대해 정의되므로, $x$ 대신 시간 변수 $t$로 바꾸고, 함수도 인구수(population)인 $y$ = $p(t)$를 선택한다. 이 조건으로 식 (2)에 넣어서 시간에 대한 인구수 $p(t)$ 변화를 얻는다.

                          (2.2a)

여기서 $r$ = $ak$, $C$는 적분 상수이다. 시간 $t$ = $0$에서 $p(0)$ = $p_0$으로 두고 $C$를 결정해 $p(t)$를 획득한다.

                          (2.2b)

시간이 계속 흐르면 인구수 $p(t)$가 점근하는 수렴값은 $k$이며, 이때 $k$는 현재 환경이 수용할 수 있는 최대 인구수가 된다.

[그림 2.1] 표준 로지스틱 함수의 변화 특성(출처: wikipedia.org)

식 (2.2b)를 바탕으로 로지스틱 함수의 일반형(general form of logistic function)을 정의한다.

                          (2.3a)

여기서 $M, m$은 각각 로지스틱 함수의 최대값 및 최소값, $k/4$는 최대 기울기 혹은 $t$ = $t_0$에서 기울기이다. 표준 로지스틱 함수(standard logistic function)는 $m$ = $0$, $M$ = $1$, $k$ = $1$, $t_0$ = $0$인 경우이다.

                          (2.3b)

로지스틱 함수는 S자 모양으로 변하는 함수의 총칭인 시그모이드(sigmoid)의 대표적 예이다. 시그모이드의 본래 뜻은 시그마(σ, sigma)를 닮은(-oid) 곡선이다.
식 (2.1)의 계수 $r, k$가 $t$에 대한 상수가 아니고 시변(time-varying)인 $r(t), k(t)$일 때는 이산화해서 푸는 방법을 주로 선택한다. 이를 위해 미분을 전방 차분(forward difference)으로 근사화해 정리한다.

                          (2.4)

여기서 $p_n$ = $p(n \Delta t)$, $r_n$ = $r(n \Delta t)$, $k_n$ = $k(n \Delta t)$, $R_n$ = $1 + r_n \Delta t$, $K_n$ = $k_n [1 + 1 \mathbin{/} (r_n \Delta t)]$이다. 우리가 설정하는 $r_n, k_n$ 및 초기값 $p_0$에 따라 $p_n$은 수렴 혹은 발산, 때로는 진동한다. 로지스틱 미분 방정식의 이산형인 식 (2.4)는 사회 과학 분야에서 경제 성장, 주가 변동, 혹은 부동산 시장을 분석할 때 많이 사용된다[1].


[참고문헌]
[1] 김승욱, "로지스틱 방정식을 이용한 부동산경기변동과 부동산정책의 분석," 부동산학보, 제24호, pp. 33–59, 2005년 1월. (방문일 2024-02-03)